[论文解读] Determining Edge Expansion and Other Connectivity Measures of Graphs of Bounded Genus

Viresh Patel|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2010

Interconnection Networks and Systems被引用 7

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，用于计算 genus g 的 n 个顶点图的边扩张及其他 f-最稀疏割度量，时间复杂度为 n^{O(g²)}。该方法通过利用曲面对偶性和同调理论，将问题转化为辅助图中的最短路径问题，从而在有界 genus 图上实现精确解，而此类问题在一般情况下是 NP-难的。

ABSTRACT

In this paper, we show that for an $n$-vertex graph $G$ of genus $g$, the edge expansion of $G$ can be determined in time $n^{O(g^2)}$. We show that the same is true for various other similar measures of edge connectivity.

研究动机与目标

• 开发一种精确算法，用于计算有界 genus 图中的边扩张及相关连通性度量。
• 将 Park 和 Phillips 针对平面图的方法扩展到更高 genus 的曲面。
• 填补非平面图类中稀疏割和商割问题精确算法的空白。
• 提供以 genus g 为参数的固定参数可追踪解法，开辟超越近似算法的新方向。

提出的方法

• 利用图 G 与其在 genus g 曲面上嵌入的对偶图 D(G) 之间割的对偶性。
• 使用曲面同调，将 D(G) 中每条有向边与 ℤ^{2g} 中的向量关联，通过同调类实现环路检测。
• 构建一个辅助有向图 H*，其顶点编码顶点、路径长度和同调类，其边表示有效转移。
• 在 H* 上应用 Dijkstra 算法，计算从基准顶点出发的最短路径，同时追踪权重和同调类。
• 识别 D(G) 中同调类为平凡（即 Θ(σ) = 0）的闭合路径，这些路径对应于 G 中的有效割。
• 选择使 f-最稀疏割度量 d^f_G 最小的路径，然后通过对偶映射 D⁻¹ 将其映射回 G 中的割。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有界 genus 图中以多项式时间精确计算边扩张及相关连通性度量？
• RQ2 是否存在一种以 genus g 为参数的固定参数可追踪算法，用于边扩张问题，且超越平面图的情形？
• RQ3 如何利用曲面对偶性和同调理论刻画非平面图中的有效割？
• RQ4 能否使用拓扑图论在有界 genus 图上精确求解稀疏割或最小商割问题？

主要发现

• 具有 genus g 的 n 个顶点图的边扩张可在 n^{O(g²)} 时间内计算，确立了以 genus 为参数的固定参数可追踪算法。
• 相同的算法框架适用于所有 f-最稀疏割问题，其中 f 是一个可多项式时间计算的凹函数且单调递增。
• 时间复杂度上界为 O(n^{2g² + 4g + 7})，对于任意固定的 genus g 均为多项式时间。
• 该方法依赖于构建大小为 O(n^{2g+3}) 的辅助图 H*，并在其上求解最短路径问题。
• G 中的有效割对应于 D(G) 中同调类为平凡的闭合路径，通过同调追踪可实现高效枚举。
• 该算法通过在所有同调类为平凡的此类闭合路径中最小化 d^f_G，正确识别出 f-最稀疏割。