[论文解读] Determining probability density functions with adiabatic quantum computing

Matteo Robbiati, Juan Cruz–Martinez+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种新颖的绝热量子计算方法，通过将经验累积分布函数（CDF）经绝热演化映射为时间依赖的哈密顿量，从而从数据样本中估计概率密度函数（PDF）。该方法使用Trotter化量子线路和参数偏移规则（parameter shift rule）计算PDF作为CDF的导数，在无需错误缓解的情况下，于模拟环境和真实超导量子硬件上均实现了精确结果。

ABSTRACT

The two main approaches to quantum computing are gate-based computation and analog computation, which are polynomially equivalent in terms of complexity, and they are often seen as alternatives to each other. In this work, we present a method for fitting one-dimensional probability distributions as a practical example of how analog and gate-based computation can be used together to perform different tasks within a single algorithm. In particular, we propose a strategy for encoding data within an adiabatic evolution model, which accomodates the fitting of strictly monotonic functions, as it is the cumulative distribution function of a dataset. Subsequently, we use a Trotter-bounded procedure to translate the adiabatic evolution into a quantum circuit in which the evolution time t is identified with the parameters of the circuit. This facilitates computing the probability density as derivative of the cumulative function using parameter shift rules.

研究动机与目标

• 为解决从数据样本中可靠估计概率密度函数的挑战，特别是在高能物理领域中的应用。
• 克服现有量子机器学习模型（如QNN和GAN）无法生成闭式PDF或存在训练不稳定性的问题。
• 开发一种无需训练、具备约束感知能力的PDF估计方法，结合绝热量子演化与量子线路微分。
• 仅使用参数偏移规则和基于线路的量子计算，在NISQ时代量子设备上实现PDF的直接推断。

提出的方法

• 该方法利用绝热量子演化通过构建时间依赖的哈密顿量 $ H(t) = [1 - s(t;\theta)]H_0 + s(t;\theta)H_1 $ 来回归经验CDF，其中 $ H_0 = X $，$ H_1 = Z $，且 $ s(t;\theta) $ 为变分调度函数。
• 通过优化调度函数 $ s(t;\theta) $，确保哈密顿量 $ H(t) $ 的基态能量在时间 $ t \in [0,T] $ 内匹配目标CDF值。
• 将所得的绝热哈密顿量通过类似Trotter的分解方法转化为量子线路，以实现在基于门的量子处理器上的部署。
• 利用参数偏移规则（PSR）算法对量子线路输出进行微分，从而提取概率密度函数作为CDF的导数。
• 在已知分布和高能物理蒙特卡洛样本上进行数值验证，并与精确解析形式进行对比。
• 在5量子比特超导芯片上进行硬件评估，每个数据点使用 $ N_{\text{shots}} = 1000 $ 和 $ N_{\text{runs}} = 10 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以不依赖量子神经网络的端到端训练，利用绝热量子计算来估计概率密度函数？
• RQ2 是否可以使用变分调度方法将经验累积分布函数准确映射为时间依赖的量子哈密顿量？
• RQ3 在近期量子硬件上，参数偏移规则在多大程度上可用于微分量子线路输出并提取PDF？
• RQ4 在无错误缓解的情况下，该方法对真实超导设备中的噪声和量子比特保真度的鲁棒性如何？

主要发现

• 该方法在最坏情况下对已知分布（如正态分布、伽马分布、指数分布）的PDF估计相对误差低于10%，即使在 $ N_{\text{shots}} = 5 \times 10^4 $ 条采样下仍表现良好。
• 在5量子比特超导芯片上对伽马分布的硬件结果中，各量子比特的平均预测比值 $ \hat{y}/y $ 在4.8至15.5之间，性能与保真度相关。
• 保真度分别为0.953和0.952的量子比特2和3，分别获得 $ K $ 值6.8和4.8，表明性能相对更优。
• 该方法在无错误缓解条件下于硬件上实现了稳定的CDF拟合，表明其在NISQ设备上具有直接部署潜力。
• 参数偏移规则成功实现了从量子线路中准确提取PDF，验证了在真实硬件上微分策略的有效性。
• 通过为每个独立同分布变量分别使用独立的量子比特寄存器，该方法可扩展至多维PDF的估计。