[论文解读] Determining Singularities Using Row Sequences of Padé-orthogonal Approximants

Nattapong Bosuwan, G. López Lagomasino+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2013

Mathematical functions and polynomials参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文建立了与复平面上任意紧致子集上测度相关的佩德-正交逼近行序列的直接与逆定理。结果表明，这些逼近的极点收敛于函数的奇点，通过共形映射和正交多项式的渐近分析，将法布里、德蒙泰斯、布斯拉耶夫和苏京的经典结果推广至任意紧致集上的正交逼近。

ABSTRACT

Starting from the orthogonal polynomial expansion of a function $F$ corresponding to a finite positive Borel measure with infinite compact support, we study the asymptotic behavior of certain associated rational functions (Padé-orthogonal approximants). We obtain both direct and inverse results relating the convergence of the poles of the approximants and the singularities of $F.$ Thereby, we obtain analogues of the theorems of E. Fabry, R. de Montessus de Ballore, V.I. Buslaev, and S.P. Suetin.

研究动机与目标

• 将佩德逼近的经典收敛定理推广至在复平面上一般紧致子集 $E \subset \mathbb{C}$ 上具有紧支集测度的佩德-正交逼近情形。
• 建立直接结果，将函数 $F$ 的奇点位置与佩德-正交逼近极点的渐近行为相联系。
• 证明逆定理，表明可通过极点的渐近分布推断函数 $F$ 的奇点位置与性质。
• 通过共形表示，将法布里、德蒙泰斯·德巴洛尔、布斯拉耶夫与苏京的结果推广至一般紧致集上的正交逼近情形。
• 为在具有正则测度的紧致集上，利用佩德-正交逼近行序列检测奇点，提供理论框架。

提出的方法

• 利用从 $\overline{\mathbb{C}} \setminus E$ 到 $\overline{\mathbb{C}} \setminus \{ |w| \leq 1 \}$ 的外部共形映射 $\Phi$ 及其逆 $\Psi = \Phi^{-1}$，定义典范区域 $D_\rho$ 与水平曲线 $\Gamma_\rho$。
• 将佩德-正交逼近 $[n/m]_F^\mu$ 定义为在正交多项式 $p_n$ 下，使 $L^2(\mu)$-内积误差最小的有理函数。
• 在正则性假设下应用正交多项式的渐近分析：$\lim_{n \to \infty} |p_n(z)|^{1/n} = |\Phi(z)|$ 在 $\mathbb{C} \setminus E$ 的紧子集上一致成立。
• 利用傅里叶系数 $F_n = \langle F, p_n \rangle_\mu$ 定义收敛半径 $\rho_0(F) = (\limsup |F_n|^{1/n})^{-1}$，表征全纯性的最大区域。
• 采用复围道积分与柯西积分公式，将逼近分母 $Q_{n,m}^\mu(z)$ 表示为涉及系数 $\langle z^j F, p_{n+k} \rangle_\mu$ 的行列式，并通过 $w = \Psi(z)$ 变换。
• 应用引理2于托普利茨型矩阵行列式的渐近行为，证明 $Q_{n,m}^\mu(z)$ 的零点收敛于 $w$-平面上函数 $f(w)$ 的极点，后者对应于 $F$ 的奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \to \infty$ 时，固定 $m$ 的佩德-正交逼近行序列的极点如何渐近行为？
• RQ2 能否从佩德-正交逼近极点的渐近分布中恢复函数 $F$ 的奇点位置？
• RQ3 法布里、德蒙泰斯、布斯拉耶夫与苏京的经典定理在多大程度上可推广至一般紧致集上的正交逼近情形？
• RQ4 共形映射 $\Phi$ 在刻画逼近的收敛域与奇点位置方面起何种作用？
• RQ5 在何种条件下，佩德-正交逼近 $[n/m]_F^\mu$ 是唯一的？这与测度 $\mu$ 的结构有何关联？

主要发现

• 当 $n \to \infty$ 时，佩德-正交逼近 $[n/m]_F^\mu$ 的极点收敛于 $F$ 的奇点，其极限分布由变换后函数 $f(w) = F(\Psi(w))$ 在 $w$-平面上的极点决定。
• 正交展开的收敛半径 $\rho_0(F)$ 满足 $\rho_0(F) = (\limsup |F_n|^{1/n})^{-1}$，且级数在 $D_{\rho_0(F)}$ 上一致收敛。
• 对于固定的 $m$，当 $n \to \infty$ 时，$[n/m]_F^\mu$ 的极点收敛于 $w$-平面上 $f(w)$ 的 $m$ 个极点（按重数计），从而确立了逆定理。
• $Q_{n,m}^\mu(z)$ 的分母在 $\Delta_{n,m}(F,\mu) \neq 0$ 时对大 $n$ 唯一确定，该条件通过托普利茨型行列式的渐近分析得到验证。
• $Q_{n,m}^\mu(z)$ 的渐近行为由奇点在 $\Psi$ 下的原像的范德蒙德行列式控制，表明极点收敛于 $\lambda_j = \Psi(\tau_j)$，其中 $\tau_j$ 是 $f(w)$ 的零点。
• 该方法推广了经典结果：直接定理推广了法布里的定理，而逆定理推广了德蒙泰斯与布斯拉耶夫的定理至一般紧致集上的正交逼近。