[论文解读] Determining the automorphism group of a hyperelliptic curve

Tony Shaska|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 18

一句话总结

本文提出了一种在特征为零的代数闭域上确定超椭圆曲线自同构群的实用方法，通过利用曲线方程的正规分解导出的二面体不变量。该方法将问题简化为求解非线性系统并应用不变量理论条件，从而实现对自同构群在 $A_4$、$S_4$ 和 $A_5$ 范围内的分类。

ABSTRACT

In this note we discuss techniques for determining the automorphism group of a genus $g$ hyperelliptic curve $\X_g$ defined over an algebraically closed field $k$ of characteristic zero. The first technique uses the classical $GL_2 (k)$-invariants of binary forms. This is a practical method for curves of small genus, but has limitations as the genus increases, due to the fact that such invariants are not known for large genus. The second approach, which uses dihedral invariants of hyperelliptic curves, is a very convenient method and works well in all genera. First we define the normal decomposition of a hyperelliptic curve with extra automorphisms. Then dihedral invariants are defined in terms of the coefficients of this normal decomposition. We define such invariants independently of the automorphism group $\Aut (\X_g)$. However, to compute such invariants the curve is required to be in its normal form. This requires solving a nonlinear system of equations. We find conditions in terms of classical invariants of binary forms for a curve to have reduced automorphism group $A_4$, $S_4$, $A_5$. As far as we are aware, such results have not appeared before in the literature.

研究动机与目标

• 开发一种有效算法，用于计算在特征为零的代数闭域上，基因数 $g \geq 2$ 的超椭圆曲线的自同构群。
• 通过引入更通用且可扩展的方法，克服经典 $GL_2(k)$-不变量在大基因数下未知的局限性。
• 提供关于超椭圆曲线具有约化自同构群 $A_4$、$S_4$ 或 $A_5$ 的必要与充分不变量条件，填补文献中的空白。
• 支持在超椭圆曲线模空间中显式计算轨迹 $\mathcal{L}_g^G$，其中 $G$ 包括 $A_4$、$S_4$、$A_5$ 等群。
• 支持计算应用，例如利用二面体不变量确定曲线的模域。

提出的方法

• 将超椭圆曲线的正规分解定义为 $Y^2 = F(X^s)$ 或 $Y^2 = X \cdot F(X^s)$，其中 $s$ 为该分解的最小次数。
• 引入二面体不变量 $u_i^j$ 作为正规形式中系数的对称函数，定义为 $u_i^j = a_j^{\delta-i+1} a_i + a_{\delta-j}^{\delta-i+1} a_{\delta-i+1}$，其中 $1 \leq i \leq \delta$，$1 \leq j \leq \lfloor (\delta+1)/2 \rfloor$。
• 利用二面体不变量的元组 $\mathfrak{U}^j = (u_1^j, \dots, u_m^j)$ 来表征自同构群的结构。
• 应用一种算法：首先检查是否存在正规分解；若不存在，则自同构群为 $\mathbb{Z}_2$。
• 当 $s > 2$ 时，若 $s$ 为奇数，则群为 $\mathbb{Z}_{2s}$；否则，利用二面体不变量通过已知关系识别完整群。
• 将计算得到的不变量与已知的多项式条件 $\mathcal{L}_g^G$ 匹配，以确定 $\operatorname{Aut}(\mathcal{X}_g)$ 的同构类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 超椭圆曲线方程系数满足何种条件时，其约化自同构群为 $A_4$、$S_4$ 或 $A_5$？
• RQ2 如何算法化地确定超椭圆曲线的正规分解，以促进自同构群的计算？
• RQ3 二面体不变量能否用于对所有基因数的自同构群进行分类，特别是在经典不变量不可用时？
• RQ4 表征具有自同构群 $A_4$、$S_4$ 和 $A_5$ 的曲线的必要与充分多项式条件在不变量方面是什么？
• RQ5 如何利用从其正规形式导出的二面体不变量计算超椭圆曲线的模域？

主要发现

• 对于基因数 2 的曲线，二面体不变量 $u_1 = a_1^3 + a_2^3$ 和 $u_2 = 2a_1a_2$ 完全表征了正规形式 $Y^2 = X^6 + a_1X^4 + a_2X^2 + 1$ 下的自同构群。
• 对于基因数 2，$\operatorname{Aut}(\mathcal{X}_2) \cong V_6$ 当且仅当 $(u_1, u_2) = (0,0)$ 或 $(6750, 450)$。
• 对于基因数 2，$\operatorname{Aut}(\mathcal{X}_2) \cong GL_2(3)$ 当且仅当 $(u_1, u_2) = (-250, 50)$。
• 对于基因数 2，$\operatorname{Aut}(\mathcal{X}_2) \cong D_6$ 当且仅当 $u_2^2 - 220u_2 - 16u_1 + 4500 = 0$，但需排除使结果退化为 $V_6$ 或 $GL_2(3)$ 的特殊值。
• 对于基因数 2，$\operatorname{Aut}(\mathcal{X}_2) \cong D_4$ 当且仅当 $2u_1^2 - u_2^3 = 0$，但需排除退化为 $V_6$、$GL_2(3)$ 或其他已知情形的值。
• 该方法可推广至所有基因数 $g \geq 2$，通过正规分解与二面体不变量，即使在 $g$ 较大时，只要正规形式的非线性系统可解，即可实现自同构群的计算。