[论文解读] Determining the full weight distribution of any irreducible cyclic code over any finite field of dimension two

Gerardo Vega|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文在仅知码长的情况下，确定了任意维数为一或二的不可约循环码在有限域上的完整重量分布。通过利用已知的一重量码与半初等两重量不可约循环码的刻画，作者证明了仅凭码长即可通过一个基于最大公因数的简单准则，直接计算出完整的重量分布，该准则涉及域大小与码长。

ABSTRACT

In coding theory, a very interesting problem (but at the same time, a very difficult one) is to determine the weight distribution of a given code. This problem is even more interesting for cyclic codes, and this is so, mainly because they possess a rich algebraic structure, which can be utilized in a variety of ways. For example, in Engineering Telecommunications, this structure is commonly employed to design very efficient coding and decoding algorithms. In this note, we are going to use a characterization of all semiprimitive two-weight irreducible cyclic codes over any finite field, recently presented in [8], in order to determine the full weight distribution of any irreducible cyclic code over any finite field of dimension two. In fact, the relevance of our results is that by means of them we can actually directly determine the full weight distribution of any irreducible cyclic code, of dimension one or two, just by knowing its length.

研究动机与目标

• 解决长期以来确定不可约循环码完整重量分布的挑战，特别是低维情形。
• 应对由于不可约循环码复杂的代数结构而导致的重量分布计算困难。
• 为维数为一和二的情况提供完整的分类与显式重量分布计算方法。
• 建立码长与完整重量分布之间的直接联系，避免对生成矩阵或校验矩阵进行详细分析。
• 将先前关于一重量码与半初等两重量码的结果统一并扩展为一个单一且实用的框架。

提出的方法

• 利用先前工作中的不可约一重量码刻画（定理1），其中重量分布由条件 $ u = \text{gcd}(q+1, a) = 1 $ 决定。
• 应用半初等两重量不可约循环码的刻画（定理2），其条件为 $ u = \text{gcd}(q+1, a) > 2 $，$ f = \text{ord}_u(p) $ 为偶数，且 $ p^{f/2} \equiv -1 \pmod{u} $。
• 引入关键参数 $ u = \gcd(q+1, \frac{q^2 - 1}{n}) $，该参数由码长 $ n $ 导出，可在不知生成多项式或校验多项式的情况下对码类型进行分类。
• 使用表 I 中半初等两重量码的重量分布公式，其重量为 $ \frac{n q^{k/2 - 1}}{\Delta}(q^{k/2} \pm (-1)^s (u-1)) $，频率取决于 $ u $。
• 应用如下结论：当维数为二时，该码要么是一重量码（若 $ u = 1 $），要么是半初等两重量码（若 $ 2 \leq u < q+1 $），后者具有已知的重量生成多项式。
• 推导出推论 1，该推论可仅通过码长 $ n $ 直接确定完整重量分布，仅依赖于 $ u = \gcd(q+1, \frac{q^2 - 1}{n}) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅凭码长确定任意维数为一或二的不可约循环码的完整重量分布？
• RQ2 码长与域大小的何种条件可决定此类码为一重量码或半初等两重量码？
• RQ3 是否存在一种统一且计算高效的重量分布计算方法，而无需显式知道生成多项式？
• RQ4 一重量码与半初等两重量码的已知刻画如何推广至维数为二的完整分类？
• RQ5 重量分布能否用仅由码长与域大小导出的单一参数表示？

主要发现

• 任意有限域上维数为一或二的不可约循环码，要么是一重量码（若 $ u = 1 $），要么是半初等两重量码（若 $ 2 \leq u < q+1 $）。
• 当维数为一，该码等价于重复码，其重量生成多项式为 $ 1 + (q-1)z^n $，非零重量为 $ n $。
• 当 $ u = 1 $ 时，该码为两重量码，非零重量为 $ \frac{n}{q+1}q $，重量生成多项式为 $ 1 + (q^2 - 1)z^{\frac{nq}{q+1}} $。
• 当 $ 2 \leq u < q+1 $ 时，重量生成多项式为 $ 1 + \frac{q^2 - 1}{u}z^{\frac{n(q+1 - u)}{q+1}} + \frac{(q^2 - 1)(u - 1)}{u}z^n $，包含两个不同的非零重量。
• 当 $ u = q + 1 $ 时，该码为维数为一的一重量码，其重量生成多项式为 $ 1 + (q - 1)z^n $，等价于重复码。
• 推论 1 可仅通过码长 $ n $ 直接计算完整重量分布，使用 $ u = \gcd(q+1, \frac{q^2 - 1}{n}) $，如示例 2 所示，当 $ q = 27 $，$ n = 104 $ 时，结果为 $ 1 + 104z^{78} + 624z^{104} $。