[论文解读] Deterministic 3SUM-Hardness

Nick Fischer, Piotr Kaliciak+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2023

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文通过引入基于加法哈希的去随机化工具包，建立了广泛问题类的确定性3SUM-hard性。证明了集合不相交、集合交集和三角形列出等关键问题在确定性归约下是hard的，解决了先前工作中的开放问题，并通过3SUM的确定性域归约，推进了确定性3SUM-hard性理论的基础。

ABSTRACT

As one of the three main pillars of fine-grained complexity theory, the 3SUM problem explains the hardness of many diverse polynomial-time problems via fine-grained reductions. Many of these reductions are either directly based on or heavily inspired by Pătraşcu's framework involving additive hashing and are thus randomized. Some selected reductions were derandomized in previous work [Chan, He; SOSA'20], but the current techniques are limited and a major fraction of the reductions remains randomized. In this work we gather a toolkit aimed to derandomize reductions based on additive hashing. Using this toolkit, we manage to derandomize almost all known 3SUM-hardness reductions. As technical highlights we derandomize the hardness reductions to (offline) Set Disjointness, (offline) Set Intersection and Triangle Listing -- these questions were explicitly left open in previous work [Kopelowitz, Pettie, Porat; SODA'16]. The few exceptions to our work fall into a special category of recent reductions based on structure-versus-randomness dichotomies. We expect that our toolkit can be readily applied to derandomize future reductions as well. As a conceptual innovation, our work thereby promotes the theory of deterministic 3SUM-hardness. As our second contribution, we prove that there is a deterministic universe reduction for 3SUM. Specifically, using additive hashing it is a standard trick to assume that the numbers in 3SUM have size at most $n^3$. We prove that this assumption is similarly valid for deterministic algorithms.

研究动机与目标

• 开发一个通用工具包，用于在3SUM-hard性证明中基于加法哈希对细粒度归约进行去随机化。
• 通过证明(离线)集合不相交、集合交集和三角形列出的确定性hard性，解决文献中的开放问题。
• 建立3SUM的确定性域归约，表明即使在确定性算法下，标准假设（数值在[n³]范围内）依然成立。
• 为全面的确定性3SUM-hard性理论奠定基础，探讨随机性在细粒度复杂性中的作用。

提出的方法

• 使用P˘atra¸scu加法哈希框架的确定性版本，通过条件期望将随机哈希函数替换为确定性构造。
• 应用一个确定性哈希引理（引理3.2），寻找一个模数m，以最小化相关3SUM三元组中虚假匹配（h(a) + h(b) ≡ h(c) mod m）的数量。
• 通过将3SUM自归约为O(n^α)个更小的实例（引理3.3），将相关三元组数量减少至O(n^{2α})，以实现高效处理。
• 通过将3SUM解映射到模m下的集合交集，构建到集合不相交和集合交集的归约，利用模算术编码解。
• 采用参数化分析，引入δ > 0以控制误差项，并在确定性3SUM假设下确保亚二次时间复杂度。
• 应用域归约技术，通过加法哈希证明3SUM实例可假设其输入数值位于[n³]范围内，即使在确定性算法下也成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有基于加法哈希的3SUM-hard性归约是否都能被去随机化？
• RQ2 是否存在从3SUM到三角形列出的确定性归约，以解决Kopelowitz等人（SODA’16）留下的开放问题？
• RQ3 能否为3SUM构建一个确定性域归约，确保在不损失一般性的情况下，可假设输入数值位于[n³]范围内？
• RQ4 当前去随机化工具包的局限性是什么？哪些归约仍在其作用范围之外？

主要发现

• 本文证明了在不存在确定性O(n²−ε)算法求解3SUM的假设下，(离线)集合不相交是确定性3SUM-hard的。
• 在相同假设下，本文建立了(离线)集合交集的确定性hard性，参数为|U| = O(n^{1+β−α})，N = O(n^{1/2 + α/2 + β/2})，s = O(n^{1−α})，q = O(n^{1+α})，输出大小为O(n^{2−β})。
• 本文提供了到三角形列出的确定性归约，解决了Kopelowitz、Pettie和Porat（SODA’16）遗留的开放问题。
• 本文证明了3SUM的确定性域归约，表明所有3SUM实例都可假设其数值位于[n³]范围内，即使在确定性算法下也成立。
• 该框架成功去随机化了几乎所有已知的3SUM-hard性归约，仅少数近期基于结构与随机性对比的归约仍在其作用范围之外。