[论文解读] Deterministic and Probabilistic Conditions for Finite Completability of Low-rank Multi-View Data

Morteza Ashraphijuo, Xiaodong Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2017

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文通过在一种新型流形结构上运用代数几何，对包含多重秩约束的低秩多视图数据矩阵的有限且唯一完成性，提供了确定性和概率性条件。它推导出确保有限完成性的必要且充分的采样模式条件，并在秩约束下建立了确保高概率有限或唯一完成性的每列采样数量的概率界。

ABSTRACT

We consider the multi-view data completion problem, i.e., to complete a matrix $\mathbf{U}=[\mathbf{U}_1|\mathbf{U}_2]$ where the ranks of $\mathbf{U},\mathbf{U}_1$, and $\mathbf{U}_2$ are given. In particular, we investigate the fundamental conditions on the sampling pattern, i.e., locations of the sampled entries for finite completability of such a multi-view data given the corresponding rank constraints. In contrast with the existing analysis on Grassmannian manifold for a single-view matrix, i.e., conventional matrix completion, we propose a geometric analysis on the manifold structure for multi-view data to incorporate more than one rank constraint. We provide a deterministic necessary and sufficient condition on the sampling pattern for finite completability. We also give a probabilistic condition in terms of the number of samples per column that guarantees finite completability with high probability. Finally, using the developed tools, we derive the deterministic and probabilistic guarantees for unique completability.

研究动机与目标

• 刻画在整体、视图1和视图2三个秩约束下，低秩多视图矩阵有限完成性的采样模式的必要且充分条件。
• 推导在相同秩约束下确保唯一完成性的采样模式的充分条件。
• 建立每列采样条目数量的下界，以保证在高概率下实现有限或唯一完成性。

提出的方法

• 将多视图矩阵补全问题表述为一种集成多重秩约束的流形上的几何约束满足问题。
• 基于观测条目位置定义一组多项式，表示矩阵分量秩分解带来的代数约束。
• 利用代数独立性分析确定独立多项式的最大数量，该数量对应于补全过程中的自由度。
• 引入一个约束矩阵 Ω̂ 以编码采样模式，并基于 Ω̂ 的子矩阵的秩和结构推导条件。
• 应用代数几何时工具，将完成性问题转化为计数代数独立多项式的问题。
• 通过多项式独立性的组合分析推导确定性条件，并利用随机采样模型建立概率界。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种采样模式可保证在三个秩约束下，低秩多视图矩阵的有限完成性？
• RQ2 在何种条件下，此类矩阵存在唯一完成？
• RQ3 每列需要多少采样条目才能以高概率保证有限完成性？
• RQ4 如何代数化地建模多视图数据的流形结构，以整合多重秩约束？
• RQ5 代数独立多项式的数量与可能的完成数量之间存在何种关系？

主要发现

• 推导出在三个秩约束下，低秩多视图数据有限完成性的采样模式 Ω 的确定性必要且充分条件。
• 提供了确保唯一完成性的 Ω 的充分条件，将先前单视图结果推广至多视图设置。
• 本文表明，当每列采样条目数量超过由秩约束导出的特定下界时，有限完成性以高概率得以保证。
• 分析表明，由采样模式定义的代数独立多项式数量决定了可能的完成数量。
• 在第 II 节的示例中，通过检查所有子矩阵的不等式 (g(Ω′₂)−2)+ + (g(Ω′)−1)+ ≥ c(Ω′) 验证了有限完成性，确认了理论框架的有效性。
• 所提出的方法通过整合多重秩约束，推广了先前基于格拉斯曼流形的分析，使多视图数据结构的分析超越了单视图矩阵补全的范畴。