[论文解读] Deterministic homogenization for fast-slow systems with chaotic noise

David Kelly, Ian Melbourne|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 7

一句话总结

该论文在不依赖强混合假设的前提下，建立了具有混沌快动力系统的慢-快系统弱收敛于伊tô扩散的过程。利用粗糙路径理论，推导出极限SDE中漂移和扩散系数的显式公式，将均摊化理论扩展至非一致双曲流，包括洛伦兹系统。

ABSTRACT

Consider a fast-slow system of ordinary differential equations of the form $\dot x=a(x,y)+\varepsilon^{-1}b(x,y)$, $\dot y=\varepsilon^{-2}g(y)$, where it is assumed that $b$ averages to zero under the fast flow generated by $g$. We give conditions under which solutions $x$ to the slow equations converge weakly to an Itô diffusion $X$ as $\varepsilon o0$. The drift and diffusion coefficients of the limiting stochastic differential equation satisfied by $X$ are given explicitly. Our theory applies when the fast flow is Anosov or Axiom A, as well as to a large class of nonuniformly hyperbolic fast flows (including the one defined by the well-known Lorenz equations), and our main results do not require any mixing assumptions on the fast flow.

研究动机与目标

• 建立具有混沌快动力系统的慢变量在慢-快系统中弱收敛于伊tô扩散的过程。
• 消除对快流强混合假设的需求，这些假设在确定性混沌系统中通常不可行。
• 为极限随机微分方程中的漂移和扩散系数提供显式公式。
• 将均摊化理论扩展至非一致双曲流，包括Axiom A和Anosov系统，以及洛伦兹吸引子。
• 通过粗糙路径理论建立一个严格框架，将噪声过程的弱收敛性提升为解的弱收敛性。

提出的方法

• 将慢方程重新表述为由确定性噪声路径的光滑逼近驱动的粗糙微分方程。
• 在函数空间中定义噪声路径 $V_\varepsilon(t) = \int_0^t a(\cdot, y_\varepsilon(r))\,dr$ 和 $W_\varepsilon(t) = \varepsilon^{-1}\int_0^t b(\cdot, y_\varepsilon(r))\,dr$。
• 应用粗糙路径理论，从噪声空间到解空间构造连续解映射。
• 利用连续映射定理，将噪声路径的弱收敛性传递至解的弱收敛性。
• 利用函数空间值粗糙路径理论处理快流的不规则性，而无需引入混合性要求。
• 通过 $b$ 的时间平均相关函数，推导出极限漂移 $\tilde{a}(x)$ 和扩散 $\sigma(x)\sigma^T(x)$ 的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当强混合假设不成立时，能否为具有混沌快动力的快-慢系统建立确定性均摊化？
• RQ2 在非一致双曲快流中，极限伊tô SDE的漂移和扩散系数由哪些显式公式控制？
• RQ3 粗糙路径理论能否用于在混沌系统均摊化中绕过混合性假设？
• RQ4 该均摊化结果是否适用于经典的洛伦兹系统，其为非一致双曲系统？
• RQ5 极限系数如何依赖于遍历不变测度和快流的结构？

主要发现

• 即使快流不满足混合假设，慢变量 $x_\varepsilon$ 仍随 $\varepsilon \to 0$ 弱收敛于伊tô扩散 $X$。
• 极限漂移 $\tilde{a}^i(x)$ 由 $\int_\Omega a^i(x,y)\,d\mu(y) + \int_0^\infty \int_\Omega b(x,y) \cdot \nabla b^i(x, \phi_t y)\,d\mu(y)\,dt$ 给出，推广了标准均摊化公式。
• 扩散系数满足 $\sigma(x)\sigma^T(x) = \int_0^\infty \int_\Omega \left( b(x,y) \otimes b(x, \phi_t y) + b(x, \phi_t y) \otimes b(x,y) \right) \,d\mu(y)\,dt$，在给定正则性条件下积分定义良好。
• 结果适用于Anosov和Axiom A流，以及非一致双曲系统如洛伦兹吸引子。
• 收敛性在最小假设下成立：$b$-平均为零，且 $b$ 属于混合霍尔德范数 $C^{\alpha,\kappa}$，其中 $\alpha > 1$，$\kappa \in [0,1)$。
• 该理论避免了对 $L^{1/2}$-可积混合系数的需求，使其适用于现实的确定性混沌系统。