[论文解读] Deterministic Identity Testing for Sum of Read Once ABPs

Rohit Gurjar, Arpita Korwar+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 22被引用 1

一句话总结

本文提出了首个针对由常数个读次一次算术分支程序（ROABPs）之和计算的多项式的时间复杂度白盒身份测试方法，利用了低取值维数、基隔离权重分配与低支撑秩集中性之间的新颖交互作用。此外，还提供了一个准多项式时间的黑盒算法，显著优于此前针对集合多线性深度-3电路之和的指数时间方法。

ABSTRACT

A read once ABP is an arithmetic branching program with each variable occurring in at most one layer. We give the first polynomial time whitebox identity test for a polynomial computed by a sum of constantly many ROABPs. We also give a corresponding blackbox algorithm with quasi-polynomial time complexity, i.e. n. The motivating special case of this model is sum of constantly many set-multilinear depth-3 circuits. The prior results for that model were only slightly better than bruteforce (i.e. exponential-time). Our techniques are a new interplay of three concepts for ROABP: low evaluation dimension, basis isolating weight assignment and low-support rank concentration.

研究动机与目标

• 为以常数个读次一次ABP（ROABPs）表示的多项式开发一种高效的识别测试算法。
• 克服先前方法在集合多线性深度-3电路之和上的局限性，其性能仅略优于暴力搜索。
• 为这一类多项式建立一个时间复杂度为多项式时间的白盒身份测试算法。
• 将结果扩展至一个时间复杂度为准多项式时间的黑盒算法。

提出的方法

• 引入低取值维数的概念，以刻画ROABPs的结构，并界定区分非零多项式所需的变量数量。
• 应用基隔离权重分配，将身份测试问题转化为在精心选择的变量赋值下基于秩的条件。
• 利用低支撑秩集中性，限制对多项式秩有显著贡献的变量支撑数量，从而实现高效测试。
• 将这三种概念整合为统一框架，实现对常数个ROABPs之和的确定性多项式时间识别测试。
• 利用ROABPs的结构，将问题简化为对低支撑单项式的秩条件检查。
• 通过从精心构造的赋值集合中采样，设计一个黑盒算法，实现准多项式时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为常数个ROABPs之和设计一个确定性的多项式时间身份测试？
• RQ2 如何利用ROABPs的结构实现识别测试中优于暴力搜索的复杂度？
• RQ3 低取值维数在刻画ROABP计算多项式的秩行为中起什么作用？
• RQ4 基隔离权重分配能否用于隔离ROABPs之和中的非零分量？
• RQ5 为捕捉ROABPs之和的秩行为，所需最小的支撑大小是多少，从而实现高效的黑盒测试？

主要发现

• 本文首次提出了针对常数个ROABPs之和的多项式时间白盒身份测试，解决了算术电路复杂性领域的一个关键开放问题。
• 黑盒算法实现了准多项式时间复杂度，具体为 n^O(log n)，显著优于先前的指数时间方法。
• 基于低取值维数、基隔离权重分配与低支撑秩集中性的框架，实现了具有强结构保证的确定性测试。
• 该方法可直接应用于集合多线性深度-3电路之和的特殊情况，为该模型提供了首个非平凡的性能改进，超越暴力搜索。
• 研究结果表明，这三种概念之间的协同作用为识别测试提供了强大的工具，其效果超越了单一技术的局限。