[论文解读] Deterministic Models in Epidemiology: From Modeling to Implementation

Aresh Dadlani, Richard O. Afolabi+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2020

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 32被引用 7

一句话总结

本文对流行病学中的确定性流行病模型进行了全面分析，重点关注SIR、SIS、SIRS、SEI和SEIS等分 compartment 模型。研究结合了数学公式推导、平衡点稳定性分析以及基本再生数（R₀）的计算，并通过Mathematica进行数值实现，以展示不同参数下模型的动力学行为，为缺乏数学背景的研究人员提供了实用的建模指南。

ABSTRACT

The abrupt outbreak and transmission of biological diseases has always been a long-time concern of humankind. For long, mathematical modeling has served as a simple and yet efficient tool to investigate, predict, and control spread of communicable diseases through individuals. A myriad of works on epidemic models and their variants have been reported in the literature. For better prediction of the dynamics of a particular disease, it is important to adopt the most suitable model. In this paper, we study some of the widely-appreciated deterministic epidemic models in which the population is divided into compartments based on the health status of each individual. In particular, we provide a demographic classification of such models and study each of them in terms of mathematical formulation, near equilibrium point stability properties, and disease outbreak threshold conditions (basic reproduction ratio). Furthermore, we discuss the various influential factors that need to be considered during epidemic modeling. The main objective of this article is to provide a basic understanding of the mathematical complexity incurred in deterministic epidemic models with the aid of graphical illustrations obtained through implementation.

研究动机与目标

• 为数学背景有限的研究人员提供对流行病学中广泛使用的确定性流行病模型的系统性理解。
• 分析各类分 compartment 模型中无病平衡点（DFE）和地方性平衡点（EE）的稳定性。
• 阐明基本再生数（R₀）在不同模型变体中作为疾病暴发阈值的作用。
• 展示通过数值模拟实现如何增强对模型动态行为的理解。
• 识别并讨论影响模型准确性和真实性的关键生物学与人口因素，如生命动态、潜伏期、疫苗接种、年龄结构及空间异质性。

提出的方法

• 通过常微分方程组推导并分析包含与不包含生命动态的典型分 compartment 模型（SIR、SIS、SIRS、SEI、SEIS）。
• 应用线性稳定性分析，以确定各模型中无病平衡点（DFE）和地方性平衡点（EE）的局部稳定性。
• 将基本再生数（R₀）计算为阈值参数，用于预测疾病是否持续存在或最终消退。
• 利用Mathematica进行数值实现，生成时间序列图和相图，以展示不同R₀值下模型的行为。
• 引入额外复杂性，如非线性感染力、时滞、年龄结构、多群体及迁移，以扩展经典模型。
• 采用图形化展示（密度随时间变化图、相图、分岔图）以可视化平衡点稳定性及动态转变过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在SIR、SIS和SIRS模型中，引入生命动态（出生率与死亡率）如何影响其稳定性和阈值行为？
• RQ2 基本再生数（R₀）在不同分 compartment 模型中如何决定疾病是消退还是持续传播？
• RQ3 传播率（β）、恢复率（γ）及其他参数的变化如何影响流行病模型的动力学与平衡状态？
• RQ4 潜伏期、隔离、疫苗接种、年龄结构、迁移及非线性感染力等附加因素在何种程度上改变确定性流行病模型的行为？
• RQ5 数值实现与可视化如何有助于理解确定性流行病模型的复杂动态？

主要发现

• 在无生命动态的SIR模型中，当R₀ < 1时，无病平衡点稳定，疾病消退；当R₀ > 1时，存在稳定的地方性平衡点。
• 在含生命动态的SIS模型中，当R₀ > 1时出现稳定的地方性平衡点，而当R₀ < 1时无病平衡点稳定，证实了阈值行为的存在。
• 在无生命动态的SIRS模型中，地方性平衡点可能表现为鞍点或稳定节点/焦点，具体取决于参数取值，且当R₀ > 1时可实现持续传播。
• 数值模拟表明，无生命动态的SEI模型可能因初始感染人数（I(0)）和潜伏期参数（ε）的不同而表现出延迟的流行病爆发，且感染高峰出现在延迟之后。
• 分岔图证实，从无病状态到地方性状态的转变发生在R₀ = 1处，多个模型均验证了R₀作为关键阈值的可靠性。
• 通过时间序列图与相图实现的可视化表明，非线性感染力可能导致复杂动态行为，包括周期性振荡与不稳定性，即使经典模型预测为简单阈值行为。