[论文解读] Deterministic MST Sparsification in the Congested Clique

Janne H. Korhonen|arXiv (Cornell University)|May 6, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文提出了一种在汇聚 clique 模型中的确定性、常数轮次算法，可将任意图缩减至 $ n^{1+\varepsilon} $ 条边，同时保持其最小生成森林（MST）不变，其中 $ \varepsilon > 0 $ 为任意常数。关键贡献是一种递归增强稀疏性的聚类技术，使得在稀疏图上能高效计算 MST，并作为副产品提供了一种新的确定性 $ O(\log\log n) $-轮 MST 算法。

ABSTRACT

We give a simple deterministic constant-round algorithm in the congested clique model for reducing the number of edges in a graph to $n^{1+\varepsilon}$ while preserving the minimum spanning forest, where $\varepsilon > 0$ is any constant. This implies that in the congested clique model, it is sufficient to improve MST and other connectivity algorithms on graphs with slightly superlinear number of edges to obtain a general improvement. As a byproduct, we also obtain a simple alternative proof showing that MST can be computed deterministically in $O(\log \log n)$ rounds.

研究动机与目标

• 开发一种在汇聚 clique 模型中保持图的最小生成森林（MSF）的确定性、常数轮次聚类方法。
• 证明边数略超线性（$ n^{1+\varepsilon} $）的图是汇聚 clique 中连通性问题的最困难情形，因为线性规模的图可在常数轮次内被学习。
• 通过聚类提供一种新的、简单的确定性 $ O(\log\log n) $-轮 MST 算法，且不依赖于随机化归约。
• 为先前快速 MST 算法中使用的随机化聚类技术提供一种构造性替代方案。

提出的方法

• 该算法使用递归划分：从单点划分开始，将节点分组为更大的簇，形成新的划分，其稀疏参数为 $ \varepsilon/2 $。
• 对于每对簇 $ (T_i, T_j) $，标签为 $ (i,j) $ 的节点使用 Lenzen 的路由协议收集它们之间的所有边，确保 $ |E^{\mathcal{T}}_{ij}| \leq 2n $。
• 每个带标签的节点计算由 $ T_i \cup T_j $ 诱导的子图的 MST，该子图足够小（$ \leq 2n^{1-\varepsilon/2} $），可本地计算。
• 所有此类 MST 的并集构成边集 $ E' $，该边集保持原始 MSF 不变。
• 该过程重复 $ k $ 次以实现 $ \varepsilon = 1/2^k $，从而得到 $ |E'| = O(n^{1+1/2^k}) $。
• 该方法依赖于一个事实：一条边属于 MSF 当且仅当它是某个割的最小权边，从而通过基于割的刻画确保正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在汇聚 clique 模型中，是否能通过确定性聚类在常数轮次内将图的边数减少至 $ n^{1+\varepsilon} $，同时保持 MST 不变？
• RQ2 是否可能在不使用随机性的前提下，于常数轮次内将稀疏性从 $ \varepsilon $ 递归增强至 $ \varepsilon/2 $？
• RQ3 该聚类技术是否能导出汇聚 clique 中一种新的确定性 $ O(\log\log n) $-轮 MST 算法？
• RQ4 是否可以认为边数为 $ n^{1+\varepsilon} $ 的图是汇聚 clique 中连通性问题的最困难情形？

主要发现

• 本文在 $ O(k) $ 轮内实现了确定性聚类，将边数减少至 $ O(n^{1+1/2^k}) $，同时保持 MST 不变。
• 当 $ k = \log\log n $ 时，该算法可导出汇聚 clique 中一种新的确定性 $ O(\log\log n) $-轮 MST 算法。
• 由于基于割的 MST 边刻画，该方法确保结果边集 $ E' $ 包含原始最小生成森林。
• 聚类过程通过递归划分和对大小为 $ O(n^{1-\varepsilon/2}) $ 的子图进行本地计算，维持了 $ \varepsilon $-稀疏性。
• 该构造使用 Lenzen 的路由协议在常数轮次内分发边集，实现了节点间的高效协调。
• 该结果意味着，若能在边数为 $ n^{1+\varepsilon} $ 的图上高效求解 MST，则一般情况下的 MST 问题也可解决，因为具备聚类能力。