[论文解读] Deterministic Partially Dynamic Single Source Shortest Paths in Weighted Graphs

Aaron Bernstein|arXiv (Cornell University)|May 29, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用 9

一句话总结

该论文提出了首个在加权无向图中解决增量式单源最短路径问题的确定性算法，打破了长期存在的 $O(mn)$ 总更新时间界限。通过引入一种基于分层顶点聚类和近似距离维护的新型缩放方法，该算法实现了 $\tilde{O}(n^2 \log W)$ 的总更新时间，标志着在加权图的确定性动态最短路径研究中取得了重大进展。

ABSTRACT

In this paper we consider the decremental single-source shortest paths (SSSP) problem, where given a graph $G$ and a source node $s$ the goal is to maintain shortest distances between $s$ and all other nodes in $G$ under a sequence of online adversarial edge deletions. In their seminal work, Even and Shiloach [JACM 1981] presented an exact solution to the problem in unweighted graphs with only $O(mn)$ total update time over all edge deletions. Their classic algorithm was the state of the art for the decremental SSSP problem for three decades, even when approximate shortest paths are allowed. A series of results showed how to improve upon $O(mn)$ if approximation is allowed, culminating in a recent breakthrough of Henzinger, Krinninger and Nanongkai [FOCS 14], who presented a $(1+ε)$-approximate algorithm for undirected weighted graphs whose total update time is near linear: $O(m^{1+o(1)}\log(W))$, where $W$ is the ratio of the heaviest to the lightest edge weight in the graph. In this paper they posed as a major open problem the question of derandomizing their result. Until very recently, all known improvements over the Even-Shiloach algorithm were randomized and required the assumption of a non-adaptive adversary. In STOC 2016, Bernstein and Chechik showed the first \emph{deterministic} algorithm to go beyond $O(mn)$ total update time: the algorithm is also $(1+ε)$-approximate, and has total update time $ ilde{O}(n^2)$. In SODA 2017, the same authors presented an algorithm with total update time $ ilde{O}(mn^{3/4})$. However, both algorithms are restricted to undirected, unweighted graphs. We present the \emph{first} deterministic algorithm for \emph{weighted} undirected graphs to go beyond the $O(mn)$ bound. The total update time is $ ilde{O}(n^2 \log(W))$.

研究动机与目标

• 为加权无向图中确定性增量式单源最短路径问题的 $O(mn)$ 总更新时间瓶颈提供突破。
• 提供一种确定性解法，实现次二次总更新时间，此前该目标仅在无权图或随机化设置中可达成。
• 在边删除和权重增加的情况下，维护 $(1+\epsilon)$-近似最短路径距离，并保证常数时间查询效率。
• 解决将近线性时间算法在加权图中增量式 SSSP 问题上的去随机化这一开放问题。
• 将现有技术水平从无权图和随机化算法扩展至一般加权无向图。

提出的方法

• 基于边权层级和动态顶点组件的分层聚类方案，用于管理距离近似。
• 采用缩放技术，距离相对于参数 $\tau = n/(\epsilon d)$ 维护，以控制误差传播。
• 使用动态辅助图 $G_\tau^s$，包含组件边和 $\tau$-轻边，边权按 $\beta$ 缩放以降低复杂度。
• 应用分层数据结构，维护近似距离 $\textbf{dist}_\tau^\prime(s,v)$，并保证 $\epsilon$-误差界，确保在边删除下的正确性。
• 通过在对数距离范围（$d = 2^i$）内组合多个距离界，利用最小值查询实现全局近似保证。
• 使用边界函数 $\textsc{bound}_d(x)$ 限制距离估计并控制误差累积，确保 $\textbf{dist}^\prime(v) \leq (1+O(\epsilon))\textbf{dist}(s,v)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在加权无向图中实现总更新时间低于 $O(mn)$ 的确定性增量式 SSSP 算法？
• RQ2 是否可能将近线性时间算法在加权图中增量式 SSSP 问题上的去随机化？
• RQ3 如何将分层聚类与缩放技术结合，以在边删除下以低更新成本维持近似距离？
• RQ4 在加权无向图中，确定性 $(1+\epsilon)$-近似 SSSP 的最小总更新时间是多少？
• RQ5 在确定性设置下，能否在加权图中打破 $O(mn)$ 的界限，即使仅近似实现？

主要发现

• 该算法实现了 $\tilde{O}(n^2 \log W)$ 的总更新时间，是首个在加权无向图中打破 $O(mn)$ 界限的确定性结果。
• 该算法以常数时间查询效率维护 $(1+\epsilon)$-近似距离，确保正确性与高效性。
• 该方法采用一种新颖的缩放与聚类框架，减少了高权边的贡献，并限制了各层级间的误差累积。
• 总更新时间为 $\tilde{O}(m \log^2 n \log(nW) + n^2 \log n \log(nW) \epsilon^{-2})$，接近 $n$ 的二次方，且在 $W$ 上为多对数复杂度。
• 该方法是首个在加权图的确定性设置下实现次二次总更新时间的方案，解决了长期存在的开放问题。
• 该算法通过在 $O(\log(nW))$ 个距离范围上使用最小值合并策略，在多个距离尺度上维护近似距离。