[论文解读] Deterministic Quantum Mechanics: the Mathematical Equations

Gerard ’t Hooft|arXiv (Cornell University)|May 13, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文通過推導量子系統哈密頓量與經典決定論系統（特別是離散時間與有限狀態的細胞自動機）等價的數學條件，提出了一種量子力學的決定論表述。關鍵結果是，當高能自由度被積分掉時，非對易觀測量與玻恩規則等標準量子行為可自然地從決定論、局域的相互作用中產生，其中時間離散化與快速變數使標準量子特性得以出現，而無需非局域性或引力。

ABSTRACT

Without wasting time and effort on philosophical justifications and implications, we write down the conditions for the Hamiltonian of a quantum system for rendering it mathematically equivalent to a deterministic system. These are the equations to be considered. Special attention is given to the notion of 'locality'. Various examples are worked out, followed by a systematic procedure to generate classical evolution laws and quantum Hamiltonians that are exactly equivalent. What is new here is that we consider interactions, keeping them as general as we can. The quantum systems found, form a dense set if we limit ourselves to sufficiently low energy states. The class is discrete, just because the set of deterministic models containing a finite number of classical states, is discrete. In contrast with earlier suspicions, the gravitational force turns out not to be needed for this; it suffices that the classical system act at a time scale much smaller than the inverse of the maximum scattering energies considered.

研究动机与目标

• 推導量子系統哈密頓量與決定論經典系統等價的數學條件。
• 證明量子力學可從決定論、局域動力學中產生，而無需非局域性或引力。
• 建立一個相互作用處理方式能保持幺正性、局域性與玻恩規則的框架。
• 展示標準量子形式主義（包括疊加態與非對易觀測量）可自然地從具快速變數的決定論模型中產生。
• 確立量子不確定性並非來自本質的非決定性，而是來自對快速、時空間分離自由度精確定時的本質限制。

提出的方法

• 將本體論態定義為希爾伯特空間中的正交基向量，代表離散、決定論的配置。
• 使用有限時間步長 δt 的離散時間演化，以確保能量本徵值的週期性，從而實現有限維決定論描述。
• 構造作用於本體論態上的哈密頓量，使其作為幺正演化算符，確保它們之間的決定論轉移。
• 引入「篩」態 |r⟩ 以投影並抑制不需要的轉移，將相互作用強度降低至 O(√E_max)，以容許微擾處理。
• 實施第二量子化以恢復因果性與哈密頓量的正定性，類似狄拉克場論的量子化，但其起源為決定論。
• 透過對易子條件，要求相互作用哈密頓量在光錐外彼此對易，以確保局域性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有離散時間與有限狀態的決定論經典系統，能否重現量子力學的完整結構，包括疊加態與糾纏態？
• RQ2 非對易觀測量與玻恩規則如何從根本上決定論的框架中產生？
• RQ3 快速、高能自由度在保持低能有效理論的量子性質中扮演何種角色？
• RQ4 如何從決定論、非局域的底層動力學中恢復量子場論中的局域性？
• RQ5 即使時間被離散化，標準量子形式主義為何仍會出現？時間晶格尺度的物理意義為何？

主要发现

• 若哈密頓量的本徵值具有週期性，則量子力學可數學等價於決定論系統，而時間離散化於晶格上可自然實現此週期性。
• 諧振子作為在圓周上具有週期運動的決定論系統出現，建立了經典週期性與量子諧運動之間的直接連結。
• 當態 |ψ^(i)⟩ 僅連接鄰近的本體論態時，非對易相互作用哈密頓量自然產生，並透過光錐外對易子為零來保持局域性。
• 概率的玻恩規則從初始態分佈中自然出現：輸入概率等於輸出概率，無需額外假設。
• 高能模式不會破壞理論的量子性質；其效應被積分掉，留下一個完全量子化的低能有效理論。
• 不確定性原理並非本質的，而是來自在決定論框架下，無法精確定時快速、時空間分離變數的本質限制。