[论文解读] Deterministic Sampling of Sparse Trigonometric Polynomials

Zhiqiang Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2010

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文提出了一种基于Weil指数和的确定性采样方法，用于稀疏多变量三角多项式，通过正交匹配追踪（OMP）实现精确恢复，采样集大小为素数且超过$(M\log D)^2$。该方法确保了统计受限等距性质（StRIP），并实现了近乎最优的格拉斯曼框架，性能与随机采样相当，同时对所有固定次数的$M$-稀疏信号保证精确重构。

ABSTRACT

One can recover sparse multivariate trigonometric polynomials from few randomly taken samples with high probability (as shown by Kunis and Rauhut). We give a deterministic sampling of multivariate trigonometric polynomials inspired by Weil's exponential sum. Our sampling can produce a deterministic matrix satisfying the statistical restricted isometry property, and also nearly optimal Grassmannian frames. We show that one can exactly reconstruct every $M$-sparse multivariate trigonometric polynomial with fixed degree and of length $D$ from the determinant sampling $X$, using the orthogonal matching pursuit, and $# X$ is a prime number greater than $(M\log D)^2$. This result is almost optimal within the $(\log D)^2 $ factor. The simulations show that the deterministic sampling can offer reconstruction performance similar to the random sampling.

研究动机与目标

• 开发一种确定性采样方案，无需依赖概率保证，即可保证对$M$-稀疏多变量三角多项式的精确恢复。
• 构建一种低相干性和强等距性质的采样矩阵，特别是满足统计受限等距性质（StRIP）。
• 通过确定性构造实现近乎最优的格拉斯曼框架，改进现有受尺寸严重限制的确定性感知矩阵。
• 通过仿真证明，确定性采样在OMP和基追踪中的重构精度与随机采样相当。

提出的方法

• 对于$j=1,\dots,N$，构造采样点$x_j = (j, j^2, \dots, j^d)/N \mod 1$，其中$N$为素数，形成确定性采样集$X$。
• 定义采样矩阵$\tilde{\mathcal{F}}_X$，其元素为$(\tilde{\mathcal{F}}_X)_{j,k} = \exp(2\pi i k \cdot x_j)$，通过指数和估计确保结构化相干性。
• 证明归一化矩阵$\tilde{\Phi} = \tilde{\mathcal{F}}_X / \sqrt{N}$的相互相干性被$(d-1)/\sqrt{N}$所限制，从而在给定采样规模下保证OMP恢复。
• 通过指数和估计与相干性界，证明该矩阵以高概率满足阶数为$\delta^2 N / (8\log D) \cdot (\log(D/N)/\log N)^2$的StRIP。
• 利用Weil指数和与矩阵非相干性之间的联系，确保几乎最优的格拉斯曼框架特性。
• 通过数值实验，比较确定性采样与随机采样在合成稀疏三角多项式上的OMP和基追踪性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种确定性采样方案，使得使用OMP能够保证对所有$M$-稀疏多变量三角多项式的精确恢复？
• RQ2 确定性恢复所需的最小采样数是多少？与最优随机采样界相比如何？
• RQ3 确定性采样矩阵能否以有利参数满足统计受限等距性质（StRIP）？
• RQ4 确定性矩阵的相干性与框架能量与Welch界及最优格拉斯曼框架相比如何？

主要发现

• 当采样数$N$为大于$(M\log D)^2$的素数时，使用OMP可保证对每个$M$-稀疏三角多项式的精确恢复。
• 采样矩阵的相互相干性被$(d-1)/\sqrt{N}$所限制，从而在所述采样规模下确保稳定OMP恢复。
• 该确定性采样矩阵以概率$1 - 1/D$满足阶数为$\delta^2 N / (8\log D) \cdot (\log(D/N)/\log N)^2$的统计受限等距性质（StRIP）。
• 该矩阵实现了近乎最优的格拉斯曼框架特性，其相互非相干性趋近于Welch界$1/\sqrt{N}$。
• 数值实验表明，确定性采样方法在OMP和基追踪中均实现了与随机采样相当的重构成功率。
• 该方法提供了一种具有理论保证的随机采样替代方案，其性能在$(\log D)^2$因子内接近理论下限。