[论文解读] Deterministic Sparse Fourier Transform with an ell_infty Guarantee

Yi Li, Vasileios Nakos|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2019

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 63被引用 1

一句话总结

本文提出了首个具有 ℓ∞/ℓ1 恢复保证的确定性稀疏傅里叶变换算法，实现 O(k² log n) 个采样点和 O(nk log² n) 的运行时间。该工作通过指数和界限与 Bernstein 不等式的工具，引入了新型去随机化的非相干矩阵构造方法，其性能与目前已知的最佳随机化结果相当，同时确保了稀疏傅里叶信号的确定性采样与恢复。

ABSTRACT

In this paper we revisit the deterministic version of the Sparse Fourier Transform problem, which asks to read only a few entries of x ∈ ℂⁿ and design a recovery algorithm such that the output of the algorithm approximates x̂, the Discrete Fourier Transform (DFT) of x. The randomized case has been well-understood, while the main work in the deterministic case is that of Merhi et al. (J Fourier Anal Appl 2018), which obtains O(k² log^(-1) k ⋅ log^5.5 n) samples and a similar runtime with the 𝓁₂/𝓁₁ guarantee. We focus on the stronger 𝓁_∞/𝓁₁ guarantee and the closely related problem of incoherent matrices. We list our contributions as follows. 1) We find a deterministic collection of O(k² log n) samples for the 𝓁_∞/𝓁₁ recovery in time O(nk log² n), and a deterministic collection of O(k² log² n) samples for the 𝓁_∞/𝓁₁ sparse recovery in time O(k² log³n). 2) We give new deterministic constructions of incoherent matrices that are row-sampled submatrices of the DFT matrix, via a derandomization of Bernstein’s inequality and bounds on exponential sums considered in analytic number theory. Our first construction matches a previous randomized construction of Nelson, Nguyen and Woodruff (RANDOM'12), where there was no constraint on the form of the incoherent matrix. Our algorithms are nearly sample-optimal, since a lower bound of Ω(k² + k log n) is known, even for the case where the sensing matrix can be arbitrarily designed. A similar lower bound of Ω(k² log n/ log k) is known for incoherent matrices.

研究动机与目标

• 开发一种具有强 ℓ∞/ℓ1 恢复保证的确定性稀疏傅里叶变换算法。
• 构建作为 DFT 矩阵子矩阵的确定性非相干矩阵，以支持高效的稀疏恢复。
• 通过实现近乎最优的采样复杂度，弥合随机化与确定性稀疏傅里叶变换之间的差距。
• 提供一种基于解析数论与指数和估计工具的去随机化替代方案，以替代现有随机构造。

提出的方法

• 通过去随机化 Bernstein 不等式，构造用于稀疏傅里叶恢复的确定性采样集合。
• 利用解析数论中对指数和的界，确保采样矩阵的非相干性。
• 基于 Z_p^* 的乘法子群构造采样集合，利用生成元性质与子群结构。
• 推导出一种确定性算法，采样 O(k² log n) 个条目，并在 O(nk log² n) 时间内恢复信号。
• 运用群论与数论工具，确保所有频率索引对之间的非相干性均匀一致。
• 基于 Alon 的非相干性结果提出一种新颖的下界论证，表明采样复杂度接近最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种确定性稀疏傅里叶变换算法，在近乎最优的采样复杂度下实现 ℓ∞/ℓ1 恢复保证？
• RQ2 何种确定性采样集合可生成支持强 ℓ∞/ℓ1 保证的稀疏恢复的非相干矩阵？
• RQ3 对随机构造的去随机化是否能导致稀疏傅里叶变换中的最优确定性算法？
• RQ4 Z_p^* 中的指数和界限与群结构如何促进非相干矩阵的构造？
• RQ5 确定性采样在稀疏傅里叶恢复中的理论极限是什么？确定性算法能多接近这一极限？

主要发现

• 本文在确定性 ℓ∞/ℓ1 稀疏傅里叶恢复中实现了 O(k² log n) 个采样点和 O(nk log² n) 的运行时间。
• 通过从 DFT 矩阵中行采样，提供了非相干矩阵的确定性构造，性能与目前已知最佳随机化结果相当。
• 该构造利用 Z_p^* 的乘法子群与指数和的界，确保了非相干性。
• 采样复杂度近乎最优，与已知的 Ω(k² + k log n) 下界相比仅相差对数因子。
• 该方法实现了强于以往确定性工作的 ℓ∞/ℓ1 保证（此前仅实现 ℓ2/ℓ1 保证）。
• 提出了一种新的指数和下界，表明在特定条件下，任何此类构造都必须满足 Ω(√|S| log|S| n) 的增长下限。