[论文解读] Deterministic vs Non-deterministic Graph Property Testing

Lior Gishboliner, A. Shapira|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 4

一句话总结

本文通過使用Szemerédi正則性引理，提供了確定性與非確定性圖性質測試之間等價性的顯式、構造性證明，解決了Lovász與Vesztergombi提出的一個開放問題。它通過展示任何非確定性可測試的性質都具有可量化查詢複雜度的標準測試器，從而建立了有效的查詢複雜度上界，利用圖正則性與概率著色論證，構造稠密圖的認證近似。

ABSTRACT

A graph property P is said to be testable if one can check if a graph is close or far from satisfying P using few random local inspections. Property P is said to be non-deterministically testable if one can supply a "certificate" to the fact that a graph satisfies P so that once the certificate is given its correctness can be tested. The notion of non-deterministic testing of graph properties was recently introduced by Lovasz and Vesztergombi, who proved that (somewhat surprisingly) a graph property is testable if and only if it is non-deterministically testable. Their proof used graph limits, and so it did not supply any explicit bounds. They thus asked if one can obtain a proof of their result which will supply such bounds. We answer their question positively by proving their result using Szemeredi's regularity lemma. An interesting aspect of our proof is that it highlights the fact that the regularity lemma can be interpreted as saying that all graphs can be approximated by finitely many "template" graphs.

研究动机与目标

• 解決Lovász與Vesztergombi提出的開放問題：是否能以顯式邊界構造性證明確定性與非確定性圖性質測試之間的等價性。
• 使用Szemerédi正則性引理而非圖極限，提供Lovász-Vesztergombi特徵定理的替代證明。
• 證明每一個非確定性可測試的圖性質都具有顯式、有效的查詢複雜度邊界的標準測試器。
• 展示正則性引理能實現基於模板的圖近似，其中所有圖都可由有限多個「模板」著色圖近似。

提出的方法

• 應用Szemerédi正則性引理，將稠密圖分解為有界數量的$γ$-正則對，且密度偏移受控。
• 使用概率著色技術為正則對分配邊顏色，使得所得$k$-著色圖在$\pm \gamma$誤差內匹配指定的密度分佈。
• 構造圖的邊與非邊集合的$(k,m)$-著色，使得每種顏色類的密度在$\pm \gamma$誤差內匹配給定分佈$\{\eta^\ell\}$。
• 使用集中不等式（例如Chernoff型界限）確保在大子對中，每種顏色的密度偏離期望值不超過$\gamma/2$，且機率很高。
• 對所有大子對與顏色應用並集界，確保著色在整體上以高機率一致。
• 在$O(n^{3/2})$步驟內修改邊的顏色，以修正小的密度偏移，從而在最終的$k$-著色圖中實現精確的目標密度$\eta^\ell$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以查詢複雜度的顯式邊界證明確定性與非確定性圖性質測試之間的等價性？
• RQ2 Szemerédi正則性引理能否用於構造性證明每一個非確定性可測試的性質也具有確定性可測試性？
• RQ3 正則性參數$\gamma$與實現所需著色精度所必需的頂點數量之間的定量關係為何？
• RQ4 如何從正則劃分構造一個$k$-著色圖，使得各顏色密度在$\pm \gamma$內匹配給定分佈$\{\eta^\ell\}$？
• RQ5 是否可能透過子線性數量的邊顏色修改，將具有近似密度的正則劃分轉換為具有精確目標密度的劃分？

主要发现

• 本文使用Szemerédi正則性引理，提供了Lovász-Vesztergombi定理的構造性證明，取代了非構造性的圖極限方法。
• 證明了任何非確定性可測試的圖性質都具有查詢複雜度由$\epsilon$、$\gamma$與$k$決定的函數邊界的標準測試器，從而獲得顯式邊界。
• 正則性引理被解釋為允許所有圖的有限模板近似，其中每個模板對應於具有指定密度的$k$-著色正則劃分。
• 以高機率，對$\gamma$-正則對中的邊進行隨機著色，可在足夠大的情況下，使所得顏色密度分佈在$\pm \gamma$誤差內匹配目標分佈。
• 修正步驟僅需修改最多$O(n^{3/2})$條邊，即可在最終的$k$-著色圖中實現精確的目標密度$\eta^\ell$，確保所得圖滿足所需的正則性與密度條件。
• 該構造對所有至少$n_{\text{chop2}}(\gamma,t,k) = t \cdot n_{\text{chop1}}(\gamma,k)$個頂點的圖都成立，其中$n_{\text{chop1}}$取決於$\gamma$與$k$。