[论文解读] Deutsch-Jozsa Algorithm Revisited in the Domain of Cryptographically Significant Boolean Functions

Subhamoy Maitra, Partha Mukhopadhyay|ArXiv.org|Oct 6, 2004

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文表明，当将密码学意义显著的布尔函数作为预言机提供时，Deutsch-Jozsa 量子算法可在常数时间内解决寻找该函数非零沃尔什谱系数点的问题，而最佳经典方法则需要指数时间。其关键贡献在于证明了这种量子优势适用于密码学中重要的大类布尔函数，例如高非线性度或高相关免疫性的函数。

ABSTRACT

Boolean functions are important building blocks in cryptography for their wide application in both stream and block cipher systems. For cryptanalysis of such systems one tries to find out linear functions that are correlated to the Boolean functions used in the crypto system. Let $f$ be an $n$-variable Boolean function and its Walsh spectra is denoted by $W_f(ω)$ at the point $ω\in \{0, 1\}^n$. The Boolean function is available in the form of an oracle. We like to find an $ω$ such that $W_f(ω) eq 0$ as this will provide one of the linear functions which are correlated to $f$. We show that the quantum algorithm proposed by Deutsch and Jozsa (1992) solves the above mentioned problem in constant time. However, the best known classical algorithm to solve this problem requires exponential time in $n$. We also analyse certain classes of cryptographically significant Boolean functions and highlight how the basic Deutsch-Jozsa algorithm performs on them.

研究动机与目标

• 解决在密码系统中识别与给定布尔函数相关联的线性函数的计算挑战。
• 表明在量子模型中，Deutsch-Jozsa 算法可对此问题提供常数时间解法，而经典方法则需指数时间。
• 分析 Deutsch-Jozsa 算法在特定类布尔函数（如与线性函数汉明距离有界的函数）上的性能。
• 探讨该结果对量子复杂性理论的影响，特别是 BPP 与 BQP 或 EQP 之间的相对化分离。
• 识别 BQP 中的新问题类，或有助于建立经典与量子复杂性类之间更强分离关系的问题。

提出的方法

• 将 Deutsch-Jozsa 算法应用于一个预言机，该预言机对任意输入 $x \in \{0,1\}^n$ 返回 $n$-变量布尔函数 $f$ 的值。
• 该算法判断函数是否为常数或平衡，从而推断是否存在非零沃尔什系数 $W_f(\omega)$。
• 该方法依赖于如下事实：若 $W_f(\omega) \neq 0$，则线性函数 $\omega \cdot x$ 与 $f$ 相关，这对线性密码分析至关重要。
• 分析扩展至函数类 $\mathcal{L}_{n,\epsilon}$，其中函数与某一线性函数的汉明距离被限制在 $1.17 \cdot 2^{n-3}$ 以内，以确保高成功概率。
• 通过关系式 $|W_f(\hat{\omega})| \geq 2^n - 2d(f, \hat{\omega} \cdot x)$ 对成功概率进行界定，得出成功概率至少为 $\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \epsilon\right)^2 > \frac{1}{2} + \epsilon$。
• 该算法被调整以在 $\mathcal{L}_{n,\epsilon}$ 类函数中寻找使 $|W_f(\omega)|$ 最大的 $\omega$，表明该问题属于 BQP。

实验结果

研究问题

• RQ1 当布尔函数以预言机形式提供时，Deutsch-Jozsa 算法能否高效地找到其非零沃尔什系数？
• RQ2 Deutsch-Jozsa 算法在高非线性度或高相关免疫性布尔函数类上的性能如何？
• RQ3 在此设置中观察到的量子加速是否意味着经典复杂性类（如 BPP）与量子类（如 BQP 或 EQP）之间存在相对化分离？
• RQ4 Deutsch-Jozsa 算法以高概率成功的布尔函数类有多大？
• RQ5 该方法能否推广至利用量子查询复杂性识别与密码分析相关的布尔函数结构特性？

主要发现

• 在量子预言机模型下，Deutsch-Jozsa 算法可在常数时间内解决寻找非零沃尔什系数的问题，而经典方法需 $O(2^n)$ 次查询。
• 对于定义为与某一线性函数汉明距离不超过 $2^{n-3}$ 的函数类 $\mathcal{L}_n$，该算法的成功概率至少为 $\frac{9}{16}$。
• 对于扩展类 $\mathcal{L}_{n,\epsilon}$，其距离上界为 $1.17 \cdot 2^{n-3}$，成功概率超过 $\frac{1}{2} + \epsilon$，其中 $\epsilon > 0$。
• $\mathcal{L}_{n,\epsilon}$ 的大小严格大于 $\mathcal{L}_n$，表明该算法对一大类函数均有效。
• 对于 $\mathcal{L}_{n,\epsilon}$ 中的函数，寻找最大值 $|W_f(\omega)|$ 的问题在预言机 $f$ 下属于 BQP。
• 结果表明，该问题可能不属于经典复杂性类（如 BPP 或 PH），因此是证明 BQP 与经典类之间相对化分离的候选问题。