[论文解读] Development and comparison of spectral algorithms for numerical modeling of the quasi-static mechanical behavior of inhomogeneous materials

Mohammad Khorrami, Jaber Rezaei Mianroodi+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2020

Composite Material Mechanics参考文献 29被引用 4

一句话总结

本论文开发并比较了用于模拟非均匀材料中准静态力学行为的谱算法，采用两种傅里叶级数离散化方法——梯形（TD）和分段常数（PCD）——并结合格林函数预条件化（GFP）与有限差分离散化（FDD）。平均前向后向差分（AFB）格式在TD中等价于Willot的旋转格式，表现出最高的收敛速度，优于离散格林算子（DGO）方法，尤其在相位对比度较大时。

ABSTRACT

In the current work, a number of algorithms are developed and compared for the numerical solution of periodic (quasi-static) linear elastic mechanical boundary-value problems (BVPs) based on two different discretizations of Fourier series. The first is standard and based on the trapezoidal approximation of the Fourier mode integral, resulting in trapezoidal discretization (TD) of the truncated Fourier series. Less standard is the second discretization based on piecewise-constant approximation of the Fourier mode integrand, yielding a piecewise-constant discretization (PCD) of this series. Employing these, fixed-point algorithms are formulated via Green-function preconditioning (GFP) and finite-difference discretization (of differential operators; FDD). In particular, in the context of PCD, this includes an algorithm based on the so-called "discrete Green operator" (DGO) recently introduced by Eloh et al. (2019), which employs GFP, but not FDD. For computational comparisons, the (classic) benchmark case of a cubic inclusion embedded in a matrix (e.g., Suquet, 1997; Willot, 2015) is employed. Both discontinuous and smooth transitions in elastic stiffness at the matrix-inclusion (MI) interface are considered. In the context of both TD and PCD, a number of GFP- and FDD-based algorithms are developed. Among these, one based on so-called averaged-forward-backward-differencing (AFB) is shown to result in the greatest improvement in convergence rate. As it turns out, AFB is equivalent to the "rotated scheme" (R) of Willot (2015) in the context of TD. In the context of PCD, comparison of the performance and convergence behavior of AFB/R- and DGO-based algorithms shows that the former is more efficient than the latter for larger phase contrasts.

研究动机与目标

• 开发并比较求解非均质材料中周期性线弹性边值问题的谱算法。
• 研究两种傅里叶级数离散化方法——梯形（TD）与分段常数（PCD）——对算法收敛性与效率的影响。
• 评估格林函数预条件化（GFP）与有限差分离散化（FDD）在TD与PCD方案中结合使用的性能。
• 评估平均前向后向差分（AFB）格式与离散格林算子（DGO）方法在处理材料不连续性与高相位对比度方面的有效性。
• 通过具有连续与平滑刚度过渡的典型立方体夹杂-基体问题对算法性能进行基准测试。

提出的方法

• 采用两种傅里叶级数离散化方案：基于傅里叶模态梯形积分的梯形（TD）方案，以及基于被积函数分段常数近似的分段常数（PCD）方案。
• 应用格林函数预条件化（GFP）以加速固定点迭代求解动量平衡方程的收敛速度。
• 结合有限差分离散化（FDD）微分算子，以减轻谱方法中的吉布斯振荡与混叠效应。
• 提出平均前向后向差分（AFB）格式，证明其在TD背景下等价于Willot的旋转格式。
• 将Eloh等人（2019年）最近提出的离散格林算子（DGO）方法适配至PCD框架中，且无需FDD。
• 使用具有连续与平滑弹性刚度过渡的立方体夹杂-基体单元作为基准，比较各算法的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在求解线弹性BVP时，梯形（TD）与分段常数（PCD）傅里叶级数离散化在收敛性与鲁棒性方面如何比较？
• RQ2 在TD与PCD离散化下，基于GFP与基于FDD的算法相对性能如何？
• RQ3 AFB格式是否在收敛速度与效率方面优于DGO方法，特别是在高相位对比度下？
• RQ4 基体-夹杂界面处的连续与平滑刚度过渡如何影响算法收敛性？
• RQ5 AFB格式（在TD中等价于Willot的旋转格式）相较于标准格式，在收敛性方面提升程度如何？

主要发现

• 平均前向后向差分（AFB）格式在所有测试算法中实现了最大的收敛速度提升。
• AFB格式在梯形离散化（TD）背景下与Willot的旋转格式（R）等价，证实其既定高效性。
• 在较大相位对比度下，AFB方法在分段常数离散化（PCD）框架中比DGO方法更具效率。
• PCD框架下的AFB格式相比DGO方法表现出更优的收敛行为，尤其在高弹性对比度情况下。
• 所提算法能有效处理基体-夹杂界面处的连续与平滑刚度过渡，AFB格式在两种情况下均表现出强鲁棒性。
• 结合GFP使用的有限差分离散化（FDD）显著提升了收敛稳定性与速度，尤其在存在不连续性时。