[论文解读] Development of a unified high-order nonhydrostatic multi-moment constrained finite volume dynamical core: derivation of flux-form governing equations in the general curvilinear coordinate system

Xingliang Li, Chungang Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2020

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文推导了在一般曲线坐标系下高阶非静力多矩约束有限体积（MCV）动力核心的通量形式控制方程，实现了在球面和立方球面网格上的精确大气模拟。该公式化方法结合了正交与非正交系统中的度量张量、克里斯托费尔符号及散度算子，并给出了球极坐标和立方球面几何的显式表达式，确保了包括笛卡尔极限在内的所有坐标系统的一致性。

ABSTRACT

In the manuscript we have derived the flux-form atmospheric governing equations in the general curvilinear coordinate system which is used by a high-order nonhydrostatic multi-moment constrained finite volume (MCV) dynamical core, and given the explicit formulations in the shallow-atmosphere approximation. In general curvilinear coordinate x^i(i = 1,2,3), unlike the Cartesian coordinate, the base vectors are not constants either in magnitude or direction. Following the representations such as base vectors, vector and tensor and so on in general curvilinear coordinate, we can obtain the differential relations of base vectors, the gradient and divergence operator etc. which are the component parts of the atmospheric governing equation. Then we apply them in the two specific curvilinear coordinate system: the spherical polar and cubed-sphere coordinates that are adopted in high-order nonhydrostatic MCV dynamical core. By switching the geometrics such as the metric tensors (covariant and contravariant), Jacobian of the transformation, the Christoffel symbol of the second kind between the spherical polar and cubed-sphere coordinates, the resulting flux-form governing equations in the specific coordinate system can be easily achieved. Of course, the Cartesian coordinate can be recovered. Noted that the projection metric tensors like spherical polar system and Cartesian coordinate become simple due to orthogonal properties of coordinate.

研究动机与目标

• 开发一种适用于任意曲线坐标系的统一高阶非静力动力核心，特别是球面和立方球面系统。
• 在一般曲线坐标系下推导保持守恒性质与几何一致性的通量形式控制方程。
• 在浅大气与深大气近似下，显式推导球极坐标与立方球面坐标系中的度量张量、克里斯托费尔符号及散度算子。
• 确保该公式在度量项消失时正确退化为笛卡尔坐标系，并在特殊情况下保持正交性。
• 支持在全局大气模拟中实现高阶有限体积方法，并保持几何精度。

提出的方法

• 以几何守恒形式推导三维可压缩非静力欧拉方程，独立于坐标基底。
• 使用共轭速度分量和度量张量 $G^{ij}$，在一般曲线坐标系中表达控制方程。
• 通过 $\frac{1}{\sqrt{G}}\frac{\partial}{\partial x^j}(\sqrt{G} T^{ij}) + \Gamma_{mk}^i T^{mk}$ 的方式应用曲线坐标系下的散度算子，其中包含克里斯托费尔符号 $\Gamma_{jk}^i$。
• 计算坐标变换的雅可比行列式 $\sqrt{G} = \det(G_{ij})^{1/2}$ 和逆度量 $G^{ij} = (G_{ij})^{-1}$。
• 利用参数映射，显式推导球极坐标与立方球面坐标系中度量张量、克里斯托费尔符号及几何项的表达式。
• 通过展示笛卡尔坐标系的恢复与球面系统中正交性简化，验证了公式的自洽性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一般曲线坐标系下系统地推导高阶非静力大气模型的通量形式控制方程？
• RQ2 球极坐标与立方球面坐标系中度量张量、克里斯托费尔符号及散度算子的显式形式是什么？
• RQ3 几何项，特别是 $G^{ij}\Gamma^k_{ij}$，在浅大气与深大气近似下的差异是什么？
• RQ4 该公式是否能在一个统一的高阶有限体积框架内统一处理笛卡尔、球面与立方球面几何？
• RQ5 在曲线坐标系中，科里奥利力如何以共轭分量形式表示？

主要发现

• 通过使用共轭速度分量与度量张量，在一般曲线坐标系中推导出通量形式控制方程，确保了守恒性与几何一致性。
• 克里斯托费尔符号 $\Gamma_{jk}^i$ 显式计算为 $\frac{1}{2}G^{im}(\partial_i G_{km} + \partial_k G_{jm} - \partial_m G_{jk})$，实现了精确的几何处理。
• 在浅大气近似下，立方球面中 $G^{ij}\Gamma^k_{ij} = 0$；而在深大气情况下，径向分量变为 $(-2/r)$，反映了垂直曲率效应。
• 对于球极坐标，浅大气中 $G^{ij}\Gamma^k_{ij} = \tan\varphi / R^2$，深大气中为 $\tan\varphi / r^2 - 2/r$，显示出径向依赖性。
• 立方球面的度量张量 $G_{ij}$ 通过变换矩阵 $M$ 推导，得到 $\overline{G}_{ij}$ 以 $X = \tan(\xi)$，$Y = \tan(\eta)$ 和 $\delta = \sqrt{1+X^2+Y^2}$ 表示。
• 当度量项消失时，该公式退化为笛卡尔坐标系，确认了自洽性与正交性恢复。