[论文解读] Devinatz's moment problem: a description of all solutions

Sergey M‎. ‎Zagorodnyuk|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文对Devinatz矩问题的所有解提供了完整的刻画，该问题旨在寻找定义在带形区域 $\Pi = \{(x,\varphi) : x \in \mathbb{R}, -\pi \leq \varphi < \pi\}$ 上的非负Borel测度 $\mu$，使得 $\int_{\Pi} x^m e^{in\varphi} d\mu = s_{m,n}$ 对给定的复矩序列 $\{s_{m,n}\}$ 成立。通过抽象算子理论框架与广义预解式，作者建立了解与上半平面中解析算子值函数之间的双射对应关系，完全描述了解集及典范解。

ABSTRACT

In this paper we study Devinatz's moment problem: to find a non-negative Borel measure $μ$ in a strip $Π= \{(x,ϕ):\ x\in \mathbb{R},\ -π\leq ϕ&lt; π\},$ such that $\int_Πx^m e^{inϕ} dμ= s_{m,n}$, $m\in \mathbb{Z}_+$, $n\in \mathbb{Z}$, where $\{s_{m,n}\}_{m\in \mathbb{Z}_+, n\in \mathbb{Z}}$ is a given sequence of complex numbers. We present a new proof of the Devinatz solvability criterion for this moment problem. We obtained a parameterization of all solutions of Devinatz's moment problem. We used an abstract operator approach and results of Godič, Lucenko and Shtraus.

研究动机与目标

• 通过抽象算子理论，提供Devinatz矩问题可解性准则的新证明。
• 在谱测度与广义预解式框架下，描述矩问题的所有典范解。
• 对Devinatz矩问题的全部解集给出完整描述。
• 建立解与上半平面中解析算子值函数之间的双射对应关系。

提出的方法

• 作者在可分希尔伯特空间 $H$ 中使用序列 $\{x_{m,n}\}$，使得 $ (x_{m,n}, x_{k,l})_H = s_{m+k,n-l} $，确保矩序列诱导出一个正定矩阵。
• 他们在稠密子空间 $L = \text{Lin}\{x_{m,n}\}$ 上定义线性算子 $A_0$ 与 $B_0$，分别对应于 $m$ 和 $n$ 的平移，并将其延拓为闭对称算子 $A$ 与 $B$。
• 通过广义预解式 $\mathbf{R}_\lambda = (A_{F(\lambda)} - \lambda E_H)^{-1}$ 构造解空间，其中 $F(\lambda)$ 是上半平面中的解析算子值函数。
• 从 $F(\lambda)$ 构造算子 $A$ 的谱测度 $\mathbf{E}$，并通过 $\mu = (\mathbf{E} \times F)x_{0,0}$ 恢复测度 $\mu$，其中 $F$ 是 $B$ 的谱测度。
• 关键技术工具是Weyl-Titchmarsh $M$-函数，以及通过 $F(\lambda) = W^{-1}G(\lambda)WU_{2,4}$ 建立 $F(\lambda)$ 与预解式之间的联系，其中 $G(\lambda) \in \mathbf{G}(A,B)$。
• 证明了解集与上半平面中取值于压缩算子且与 $B$ 的谱投影可交换的解析算子值函数类 $\mathbf{G}(A,B)$ 之间存在双射对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 Devinatz矩问题的解存在的充要条件是什么？其表达形式应基于矩序列 $\{s_{m,n}\}$。
• RQ2 在算子理论框架下，如何刻画Devinatz矩问题的所有典范解？
• RQ3 Devinatz矩问题的解集的完整结构是什么？其参数化方式如何？
• RQ4 在 $L^2_\mu$ 中，幂-三角多项式的稠密性与解的唯一性之间有何关系？

主要发现

• 通过抽象算子理论方法，重新证明了Devinatz矩问题的可解性准则，表明矩序列 $\{s_{m,n}\}$ 必须生成正定矩阵 $K((m,n),(k,l)) = s_{m+k,n-l}$。
• 所有典范解对应于初始循环向量 $x_{0,0}$ 在算子 $A$ 与 $B$ 作用下生成循环不变子空间的情形，意味着在最小联合函数模型中 $H_0 = \{0\}$。
• 所有解的集合与上半平面中取值于压缩算子且与 $B$ 的谱投影可交换的解析算子值函数类 $\mathbf{G}(A,B)$ 之间存在双射对应。
• 解测度 $\mu$ 完全由 $A$ 的谱测度 $\mathbf{E}$ 与 $B$ 的谱测度 $F$ 重构，其中 $\mu = (\mathbf{E} \times F)x_{0,0}$，且 $\mathbf{E}$ 通过广义预解式 $\mathbf{R}_\lambda = (A_{F(\lambda)} - \lambda E_H)^{-1}$ 导出。
• 在 $L^2_\mu$ 中，幂-三角多项式稠密当且仅当解 $\mu$ 是典范的，即最小函数模型在无约化子空间下实现。
• 解集完全由满足 $BF(\lambda) = F(\lambda)B$ 且取值为谱子空间分解中压缩算子的上半平面中的解析算子值函数 $F(\lambda)$ 参数化。