[论文解读] Dg algebras with enough idempotents, their dg modules and their derived categories

Manuel Saorı́n|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用 25

一句话总结

本文建立了具有足够幂等元的微分graded代数与小微分graded范畴之间的基础等价关系，表明其微分graded模和导出范畴之间存在拟等价。本文引入了微分graded伴随，并证明对于此类微分graded代数，其左模与右模的完美导出范畴互为对偶，将经典的模论伴随关系推广至微分graded设定下的导出函子。

ABSTRACT

We develop the theory dg algebras with enough idempotents and their dg modules and show their equivalence with that of small dg categories and their dg modules. We introduce the concept of dg adjunction and show that the classical covariant tensor-Hom and contravariant Hom-Hom adjunctions of modules over associative unital algebras are extended as dg adjunctions between categories of dg bimodules. The corresponding adjunctions of the associated triangulated functors are studied, and we investigate when they are one-sided parts of bifunctors which are triangulated on both variables. We finally show that, for a dg algebra with enough idempotents, the perfect left and right derived categories are dual to each other.

研究动机与目标

• 发展具有足够幂等元的微分graded代数及其微分graded模的完整理论，弥合经典代数与现代微分graded范畴理论之间的鸿沟。
• 在小微分graded范畴与具有足够幂等元的微分graded代数之间建立一一对应关系，证明其模范畴之间的微分graded等价。
• 将经典张量-Hom与Hom-Hom伴随关系推广至微分graded设定，构造微分graded双模范畴之间的微分graded伴随。
• 研究微分graded函子的导出函子，并确定其在两个变量中均为三角化的双函子的条件。
• 证明具有足够幂等元的微分graded代数的完美左模与右模导出范畴互为对偶。

提出的方法

• 将具有足够幂等元的微分graded代数定义为具有多个幂等元生成元的代数的推广，使用满足标准微分graded公理的分次与微分。
• 构造此类代数上的右微分graded模范畴，并证明其与关联小微分graded范畴上的微分graded模范畴等价。
• 通过将模范畴之间的经典伴随关系（张量-Hom与Hom-Hom）提升至微分graded层级，引入微分graded伴随，保持伴随结构。
• 使用同伦与导出范畴分析微分graded函子，特别关注限制与扩张标量的导出函子。
• 将理论应用于证明通过导出Hom与张量函子显式构造的完美左模与右模导出范畴之间的对偶性。
• 通过在完美范畴的生成元上验证关键同构，利用同伦投影性及Hom复形与模之间的显式同构，验证关键同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地发展具有足够幂等元的微分graded代数理论，使其与小微分graded范畴理论相对应？
• RQ2 对于结合代数上的模，经典张量-Hom与Hom-Hom伴随关系在微分graded设定下的精确类比是什么？
• RQ3 在何种条件下，微分graded函子在模范畴之间的导出函子构成在两个变量中均为三角化的双函子？
• RQ4 如何将具有足够幂等元的微分graded代数上的微分graded模导出范畴与小微分graded范畴的导出范畴联系起来？
• RQ5 是否存在具有足够幂等元的微分graded代数的完美左模与右模导出范畴之间的导出对偶性？

主要发现

• 具有足够幂等元的微分graded代数上的右微分graded模范畴与关联小微分graded范畴上的微分graded模范畴之间存在严格的微分graded等价。
• 经典协变张量-Hom与反变Hom-Hom伴随关系被推广至微分graded双模范畴之间的微分graded伴随。
• 限制与扩张标量的导出函子形成微分graded伴随，其复合产生一个自然变换，且在完美模上为同构。
• 对于任意具有足够幂等元的微分graded代数，其完美左模与右模导出范畴通过导出Hom与张量函子互为对偶。
• 对偶性证明中的关键同构通过在生成元$e_iA$上验证，利用$B \bigotimes_A \text{Hom}_A(e_iA, A)$与$Be_i$之间、以及$e_iA \bigotimes B$与$Be_i$之间的显式同构，结合零度映射与逆构造予以验证。