[论文解读] Diagonal Matrix Sequences and their Spectral Symbols

Giovanni Barbarino|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Matrix Theory and Algorithms参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文证明，任何具有实值谱符号的对角矩阵序列，均可通过置换矩阵重新排序，形成具有相同符号的广义局部托普利茨（GLT）序列。核心贡献在于证明：在特征值分布意义下谱符号等价性蕴含存在某种置换可使序列成为GLT序列，通过测度收敛与重排技术，将谱符号理论与GLT代数结构相联系。

ABSTRACT

The spectral symbols are useful tools to analyse the eigenvalue distribution when dealing with high dimensional linear systems. Given a matrix sequence with an asymptotic symbol, the last one depends only on the spectra of the individual matrices, seen as a not ordered set. We can then focus only on diagonal sequences and sort the eigenvalues so that they become an approximation of the symbol sampling. We show that this is linked to the concept of diagonal Generalized Locally Toeplitz (GLT) sequences, and in particular we prove that any diagonal sequence with a real valued symbol can be permuted in order to obtain a diagonal GLT sequence with the same symbol.

研究动机与目标

• 研究高维线性系统背景下对角矩阵序列与其谱符号之间的关系。
• 确定给定谱符号的对角序列是否可通过重排形成具有相同符号的广义局部托普利茨（GLT）序列。
• 通过特征值重排与测度论分析，建立谱符号收敛与GLT序列结构之间的联系。
• 证明具有谱符号的矩阵序列空间在置换与收敛下与GLT代数闭包兼容。

提出的方法

• 本文通过在区间[0,1]上对特征值进行分段线性插值，定义测度收敛，记为$\{D_n\}_n \rightharpoonup k(x)$。
• 证明若对角序列测度收敛于函数$k(x)$，则其亦以$k(x)$为谱符号，依据通过泛函弱收敛定义的谱符号定义。
• 作者引入特征值的递减重排概念，并将其应用于构造具有有序特征值的矩阵序列，从而可应用测度论收敛结果。
• 采用逼近序列类（a.c.s.）收敛，将谱符号收敛与GLT收敛关联，利用GLT序列构成在a.c.s.收敛下封闭的$\mathbb{C}$-代数的性质。
• 证明依赖于构造逼近谱符号的连续函数序列，并利用其对应的对角矩阵构建具有相同符号的GLT序列。
• 使用置换矩阵对特征值进行重排，使所得序列满足GLT符号条件，最终结果通过GLT空间的代数闭包性质推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何具有实值谱符号的对角矩阵序列是否均可通过置换重排，形成具有相同符号的广义局部托普利茨（GLT）序列？
• RQ2 特征值的排列顺序如何影响插值函数收敛于谱符号的过程？
• RQ3 在对角矩阵背景下，谱符号收敛与GLT序列结构之间存在何种关系？
• RQ4 若对角序列存在谱符号，是否意味着存在一种置换使其成为GLT序列？

主要发现

• 任何具有实值谱符号$f(x)$的对角矩阵序列$\{D_n\}_n$，均可通过置换矩阵$P_n$重排，使得$\{P_n D_n P_n^T\}_n \sim_{GLT} f(x) \otimes 1$。
• 谱符号仅依赖于特征值的多重集，与顺序无关，因此置换不改变谱符号。
• 若对角序列测度收敛于函数$k(x)$，则其亦以$k(x)$为谱符号，建立了测度收敛与谱符号收敛之间的联系。
• 特征值的递减重排使测度论收敛结果得以应用，从而可从具有谱符号的对角序列构造出GLT序列。
• GLT空间在a.c.s.收敛下封闭，该性质用于证明具有相同谱符号的两序列在GLT意义下的差值渐近为零。
• 最终结果通过GLT空间的代数闭包性质推导得出，表明重排后的序列继承了GLT符号$f(x) \otimes 1$。