[论文解读] Diagonal Stability of Discrete-time $k$-Positive linear Systems with Applications to Nonlinear Systems

Chengshuai Wu, Michael Margaliot|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2021

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文引入了离散时间 $k$-对角稳定性作为 $k$-正线性系统对角稳定性的必要条件，推广了已知结论：稳定正系统（$k=1$）必为对角稳定。该文表明，这一新概念可通过楔积与复合矩阵实现对一类离散时间非线性系统的稳定性分析，将先前仅限于 $k=1$ 的结果推广至更一般情形。

ABSTRACT

A linear dynamical system is called $k$-positive if its dynamics maps the set of vectors with up to $k-1$ sign variations to itself. For $k=1$, this reduces to the important class of positive linear systems. Since stable positive linear time-invariant (LTI) systems always admit a diagonal quadratic Lyapunov function, i.e. they are diagonally stable, we may expect that this holds also for stable $k$-positive systems. We show that, in general, this is not the case both in the continuous-time (CT) and discrete-time (DT) case. We then focus on DT $k$-positive linear systems and introduce the new notion of DT $k$-diagonal stability. It is shown that this is a necessary condition for standard DT diagonal stability. We demonstrate an application of this new notion to the analysis of a class of DT nonlinear systems.

研究动机与目标

• 研究稳定 $k$-正离散时间线性时不变（LTI）系统是否均为对角稳定，推广已知的 $k=1$ 情形（即正系统）结果。
• 为 $k$-正系统定义并分析一种新的稳定性概念——离散时间 $k$-对角稳定性。
• 建立基于楔积与复合矩阵的几何框架，以分析具有循环动力学的非线性系统的渐近行为。
• 证明 $k$-对角稳定性可确保一类离散时间非线性系统的全局渐近稳定性，从而扩展经典对角稳定性方法。

提出的方法

• 将 $k$-正系统定义为将至多 $k-1$ 个符号变化的向量映射至同一集合的系统。
• 通过存在一个满足 $(A^{(k)})^T D A^{(k)} \prec D$ 的正定对角矩阵 $D \succ 0$，定义离散时间 $k$-对角稳定性，其中 $A^{(k)}$ 是矩阵 $A$ 的第 $k$ 重复合矩阵。
• 利用楔积表示由 $k$ 个状态向量张成的平行多面体的 $k$ 维体积（内容）。
• 构造李雅普诺夫函数 $V(y(j)) = y(j)^T D y(j)$，其中 $y(j) = \wedge_{i=1}^k x(j, a^i)$，以分析 $k$-体积的演化。
• 证明若 $A$ 是 $k$-对角稳定的，则 $V(y(j))$ 单调递减，意味着 $k$-体积收敛至零。
• 将该框架应用于形式为 $x(j+1) = A\phi(x(j))$ 的离散时间非线性系统，证明在 $k$-对角稳定性和 $\ell$-内容保持非线性条件下，系统具有全局渐近稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个稳定 $k$-正离散时间 LTI 系统是否均为对角稳定？该问题推广了 $k=1$ 情形下稳定正系统必为对角稳定的已知结论。
• RQ2 $k$-正系统对角稳定性的适当推广是什么？其与标准对角稳定性的关系如何？
• RQ3 能否利用楔积表示的 $k$-体积几何结构分析具有循环动力学的非线性系统的稳定性？
• RQ4 在何种条件下，矩阵 $A$ 的 $k$-对角稳定性可推出关联非线性系统 $x(j+1) = A\phi(x(j))$ 的全局渐近稳定性？
• RQ5 复合矩阵 $A^{(k)}$ 及其谱性质如何与 $k$-体积动力学的稳定性相关联？

主要发现

• 对于 $k>1$ 的稳定 $k$-正系统，其在离散时间下不一定是标准对角稳定的，表明 $k=1$ 的结论无法直接推广。
• 本文引入了离散时间 $k$-对角稳定性，作为 $k$-正系统实现标准对角稳定性的必要条件。
• 对于一类具有 $\ell$-内容保持非线性的离散时间非线性系统，若 $A$ 为 $k$-对角稳定，则系统具有全局渐近稳定性。
• $k$-体积在 $k$-对角稳定性下收敛至零，意味着不存在非平凡极限环，且系统轨迹收敛至状态空间中的一条直线。
• 在示例 4 中通过数值验证了该方法：尽管 $A$ 不是施尔（Schur）矩阵，但由于 $A^{(2)}$ 是施尔矩阵且 $A$ 满足 $SR_2$ 条件且 $\epsilon_2 = 1$，$V(y(j)) = y(j)^T D y(j)$ 随时间单调递减。
• 该框架提供了基于楔积的几何解释，表明 $k$-体积的动力学演化遵循复合矩阵 $A^{(k)}$ 的演化规律，从而可通过分析 $A^{(k)}$ 的谱性质实现稳定性分析。