[论文解读] Diagonalization of quasi-uniform tridiagonal matrices

Leonardo Banchi, Ruggero Vaia|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2012

Quantum and electron transport phenomena参考文献 16被引用 12

一句话总结

本文提出一种通用的解析方法，通过利用整体均匀性对大型准均匀三对角矩阵进行对角化，其中本征值被视为均匀情况能带的形变，本征向量通过递推关系和特征多项式计算。关键成果是为具有边界扰动的系统提供了可解析处理的态密度与局域本征模式框架。

ABSTRACT

The task of analytically diagonalizing a tridiagonal matrix can be considerably simplified when a part of the matrix is uniform. Such quasi-uniform matrices occur in several physical contexts, both classical and quantum, where one-dimensional interactions prevail. These include magnetic chains, 1D arrays of Josephson junctions or of quantum dots, boson and fermion hopping models, random walks, and so on. In such systems the bulk interactions are uniform, and differences may occur around the boundaries of the arrays. Since in the uniform case the spectrum consists of a band, we exploit the bulk uniformity of quasi-uniform tridiagonal matrices in order to express the spectral problem in terms of a variation of the distribution of eigenvalues in the band and of the corresponding eigenvectors. In the limit of large matrices this naturally leads to a deformation of the density of states which can be expressed analytically; a few out-of-band eigenvalues can show up and have to be accounted for separately. The general procedure is illustrated with some examples.

研究动机与目标

• 开发一种适用于具有整体均匀性与边界非均匀性的大型对称三对角矩阵的通用解析对角化方法。
• 以完全均匀情况下的本征值能带形变为基准，描述此类矩阵的谱特性。
• 提供一种系统化方法，通过子矩阵的递推关系与特征多项式计算本征向量。
• 考虑由于边界扰动可能产生的带外本征值。
• 推广并拓展先前关于三对角矩阵对角化的成果，特别是针对非镜像对称与多重扰动的情形。

提出的方法

• 利用整体均匀性，将本征值建模为均匀情况能带 λ = 2cos(k) 的平移版本，其中平移量 φₖ 由非均匀边界元素决定。
• 使用特征多项式 χ_{μ:ν}(λ) 的递推关系，通过公式 (5) 计算本征向量分量，该公式将本征向量分量的乘积与子矩阵多项式关联起来。
• 通过公式 (37) 推导出第一个本征向量分量 Oₖ₁ 的显式表达式，其为非均匀参数的有理函数，仅依赖于非均匀边界元素。
• 通过公式 (8) 实现递推的本征向量构造，该公式以矩阵元素 aₙ 和 bₙ 表达 Oₖ,ν₊₁ 与 Oₖ,ν 和 Oₖ,ν₋₁ 的关系。
• 当存在整体均匀性时，通过切比雪夫多项式表达完整本征向量，如对称情况下公式 (7) 所示。
• 引入一种谱形变形式化方法，使用函数 t(ξ)、u(ξ) 和 φₖ，以描述带内态密度与本征值分布的修改。

实验结果

研究问题

• RQ1 当三对角矩阵在主体部分均匀但边界处被扰动时，其本征值如何进行解析描述？
• RQ2 此类矩阵的本征向量的解析形式是什么，特别是第一个分量以及其余分量的递推形式？
• RQ3 由于边界非均匀性，主体能带内的态密度如何形变？是否可进行解析表达？
• RQ4 在何种条件下会出现带外本征值？如何将其分离并单独计算？
• RQ5 该方法能否将已知的对称三对角矩阵对角化结果（如 Yueh, 2005 所述）推广至非镜像对称与多重扰动的情形？

主要发现

• 准均匀三对角矩阵的本征值是均匀能带 λ = 2cos(k) 的形变，其平移量 φₖ 由非均匀边界元素决定，如公式 (24) 和 (25) 所形式化。
• 第一个本征向量分量 Oₖ₁ 由非均匀参数的有理函数给出，如公式 (37) 所示，从而可通过递推高效计算完整本征向量。
• 对于大矩阵，带内态密度由形变函数解析描述，当所有本征值位于带内时，公式 (48) 的积分为 1。
• 带外本征值可能产生，并可单独处理；例如，当 x=0 且 y 变化时，若 y > √2，则出现两对符号相反的本征值。
• 该方法成功推广了先前结果，当 x=0, y=1, z=-1 时，可恢复 Yueh (2005) 的定理 1，得到 φₖ = -3k/2 与 kⱼ = 2πj/(2ℓ+1)。
• 当主体部分均匀时，本征向量分量可表示为 Oₖ₁ 乘以切比雪夫多项式的乘积，如对称情况下公式 (7) 所示。