[论文解读] Diagrams of classifying spaces and $k$-fold Boolean algebras

Eric Babson, Dmitry N. Kozlov|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文提出了一种同伦论方法，通过将空间表示为图的同伦极限并分析该图上群作用，来计算拓扑空间在群作用下的商空间的同调。关键成果是利用分类空间、谱序列和辫子分层，完全计算了单纯形的对称删除连积的 $\mathbb{F}_2$-同调，同时为有限单纯形提供了基于偏序集的替代描述。

ABSTRACT

In this paper we study the problem of determining the homology groups of a quotient of a topological space by an action of a group. The method is to represent the original topological space as a homotopy limit of a diagram, and then act with the group on that diagram. Once it is possible to understand what the action of the group on every space in the diagram is, and what it does to the morphisms, we can compute the homology groups of the homotopy limit of this quotient diagram. Our motivating example is the symmetric deleted join of a simplicial complex. It can be represented as a diagram of symmetric deleted products. In the case where the simplicial complex in question is a simplex, we perform the complete computation of the homology groups with $\mathbb Z_p$ coefficients. For the infinite simplex the spaces in the quotient diagram are classifying spaces of various direct products of symmetric groups and diagram morphisms are induced by group homomorphisms. Combining Nakaoka's description of the $\mathbb Z_p$-homology of the symmetric group with a spectral sequence, we reduce the computation to an essentially combinatorial problem, which we then solve using the braid stratification of a sphere. Finally, we give another description of the problem in terms of posets and complete the computation for the case of a finite simplex.

研究动机与目标

• 开发一种计算群作用下商空间同调的一般方法。
• 将单纯形复形的对称删除连积视为对称删除积的图进行分析。
• 利用分类空间和谱序列，计算单纯形的对称删除连积的 $\mathbb{F}_2$-同调。
• 为有限单纯形提供问题的偏序集理论描述。
• 通过球面的辫子分层，将同调计算转化为组合问题。

提出的方法

• 将原始拓扑空间表示为空间图的同伦极限。
• 在图上作用群，追踪其在对象和态射上的作用。
• 利用Nakaoka对对称群的 $\mathbb{F}_2$-同调的描述，分析商图中分类空间的同调。
• 应用谱序列，将计算简化为组合问题。
• 利用球面的辫子分层解决所得的组合问题。
• 通过偏序集和 $k$-重布尔代数重新表述问题，适用于有限单纯形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用图的同伦极限计算群作用下商空间的同调？
• RQ2 单纯形的对称删除连积的 $\mathbb{F}_2$-同调是什么？
• RQ3 对单纯形上对称群的作用如何转化为图中分类空间上的作用？
• RQ4 能否通过几何分层将同调计算简化为组合问题？
• RQ5 有限单纯形的对称删除连积的偏序集理论描述是什么？

主要发现

• 通过对称群直积的分类空间，计算了无限单纯形的对称删除连积的 $\mathbb{F}_2$-同调。
• 谱序列的约化导致一个可通过球面辫子分层求解的组合问题。
• 对于无限单纯形，商图中的空间是若干对称群直积的分类空间，态射由群同态诱导。
• 无限单纯形的计算结果完整地以对称群同调和图结构的形式描述了 $\mathbb{F}_2$-同调。
• 对于有限单纯形，问题被重新表述为偏序集和 $k$-重布尔代数，从而实现了完整的同调计算。
• 该方法成功地通过几何和代数技术，将一个拓扑同调问题转化为组合问题。