[论文解读] Diameter and spectral gap for planar graphs

Larsen Louder, Juan Souto|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文在有限平面图的直径范围内，建立了其谱间隙的精确上界，表明 $\lambda_1(X) \leq C_d \left( \frac{\log(\operatorname{diam}X)}{\operatorname{diam}X} \right)^2$，并构造了一类三角剖分序列，证明该上界是最优的。该结果通过表明该界无法进一步改进，从而解决了Benjamini与Curien关于平面图上随机游走混合时间的问题，确认了混合时间相对于直径存在对数级的延迟。

ABSTRACT

We prove that the spectral gap of a finite planar graph $X$ is bounded by $λ_1(X)\le C(\frac{\log(\diam X)}{\diam X})^2$ where $C$ depends only on the degree of $X$. We then give a sequence of such graphs showing the the above estimate cannot be improved. This yields a negative answer to a question of Benjamini and Curien on the mixing times of the simple random walk on planar graphs.

研究动机与目标

• 建立有限平面图的谱间隙 $\lambda_1(X)$ 在其直径范围内的上界。
• 确定该上界是否可进一步改进，特别是与简单对称随机游走的混合时间的关系。
• 解决Benjamini与Curien关于平面图上随机游走混合时间提出的问题。
• 构造显式的一类平面图族，使其达到谱间隙的理论下界。
• 通过Mantuano关于流形上拉普拉斯算子的研究，将离散图谱理论与黎曼几何联系起来。

提出的方法

• 利用 $\lambda_1(X)$ 的瑞利商表征，将谱间隙与图的结构联系起来。
• 通过将一个膨胀图 $Z_n$ 的边细分为 $n^{10}$ 段，构造图序列 $Y_n$。
• 定义一个旋转对称的度量圆柱体 $A_n$，其中每个圆周的长度对应于从基点 $p_n$ 出发距离为 $t$ 的顶点数。
• 应用Mantuano关于黎曼流形上拉普拉斯算子的结果，将谱间隙的界从 $A_n$ 推广到其离散化版本。
• 将 $A_n$ 的三角剖分完成为2-球面 $\mathbb{S}^2$ 的三角剖分，从而得到最终的图 $X_n$。
• 利用诺伊曼边界条件和特征函数对称性论证，证明 $\lambda_1(A_n)$ 的下界由周长 $\phi(t)$ 决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限平面图的谱间隙 $\lambda_1(X)$ 是否能以其直径为参数建立上界，若能，其紧致程度如何？
• RQ2 上界 $\lambda_1(X) \leq C_d \left( \frac{\log(\operatorname{diam}X)}{\operatorname{diam}X} \right)^2$ 对于有界度的平面图是否最优？
• RQ3 简单随机游走在平面图上的混合时间是否至少以 $\left( \frac{\operatorname{diam}X}{\log(\operatorname{diam}X)} \right)^2$ 的速度增长？
• RQ4 能否构造一类平面三角剖分序列 $X_n$，使得 $\lambda_1(X_n)$ 的下界满足 $C \left( \frac{\log(\operatorname{diam}X_n)}{\operatorname{diam}X_n} \right)^2$？
• RQ5 该谱间隙上界是否意味着混合时间存在与文献中上界相匹配的下界？

主要发现

• 任意最大度为 $d$ 的有限连通平面图 $X$，其谱间隙满足 $\lambda_1(X) \leq C_d \left( \frac{\log(\operatorname{diam}X)}{\operatorname{diam}X} \right)^2$，其中 $C_d$ 仅依赖于 $d$。
• 存在一类互不相同的 $\mathbb{S}^2$ 三角剖分 $X_n$，其度有界，且满足 $\lambda_1(X_n) \geq C \left( \frac{\log(\operatorname{diam}X_n)}{\operatorname{diam}X_n} \right)^2$，从而证明该上界是紧的。
• 此类图上简单随机游走的混合时间 $\tau(X)$ 满足 $\tau(X) \geq C_d \left( \frac{\operatorname{diam}X}{\log(\operatorname{diam}X)} \right)^2$，确认了对数级延迟。
• 构造表明当 $n$ 足够大时，有 $\operatorname{vol}(X_n) < (\operatorname{diam}X_n)^2$，说明这些图并非体积膨胀图。
• 对 $\lambda_1(X_n)$ 的下界表明，文献中关于混合时间的上界在一般情况下无法进一步改进。
• 该结果对Benjamini与Curien提出的问题给出了否定回答：即平面图上随机游走的混合时间不能独立于直径进行有界控制。