[论文解读] Diameter Versus Certificate Complexity of Boolean Functions

Kaspars Balodis|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用 1

一句话总结

本文构建了一个单调的部分布尔函数，其中特定输入的 0-和 1-证书复杂度均至少为 $ C(f)^{2-o(1)} $，在长期存在的查询复杂度难题中实现了最优指数。通过在变量对的结构化矩阵上使用随机函数，该构造表明证书复杂度可比最小证书大小大出一个平方数量级，解决了复杂性理论中的一个关键开放问题，并暗示了在敏感度、多项式次数和通信复杂度等多个复杂性度量之间近乎最优的分离。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a measure of Boolean functions we call diameter, that captures the relationship between certificate complexity and several other measures of Boolean functions. Our measure can be viewed as a variation on alternating number, but while alternating number can be exponentially larger than certificate complexity, we show that diameter is always upper bounded by certificate complexity. We argue that estimating diameter may help to get improved bounds on certificate complexity in terms of sensitivity, and other measures. Previous results due to Lin and Zhang [Krishnamoorthy Dinesh and Jayalal Sarma, 2018] imply that s(f) ≥ Ω(n^{1/3}) for transitive functions with constant alternating number. We improve and extend this bound and prove that s(f) ≥ √n for transitive functions with constant alternating number, as well as for transitive functions with constant diameter. {We also show that bs(f) ≥ Ω(n^{3/7}) for transitive functions under the weaker condition that the "minimum" diameter is constant.} Furthermore, we prove that the log-rank conjecture holds for functions of the form f(x ⊕ y) for functions f with diameter bounded above by a polynomial of the logarithm of the Fourier sparsity of the function f.

研究动机与目标

• 解决查询复杂度领域长期存在的开放问题：是否存在一个部分布尔函数，使得对某个输入 $ x \in f^{-1}(\ast) $，均有 $ \bar{C}_0(f,x) $ 和 $ \bar{C}_1(f,x) $ 至少为 $ C(f)^{2-o(1)} $。
• 构造一个函数，使该难题公式中的最优指数 $ \alpha = 2 $ 得到实现，优于此前构造的 $ \alpha = 1.5 $。
• 在证书复杂度 $ C(f) $ 与多项式次数 $ \deg(f) $ 之间建立近乎最优的分离，改进了 Kusilevitz 和 Nisan 在 1995 年的结果。
• 为复杂性理论中的若干基本问题推导出新的、紧致的下界，包括团 vs. 独立集问题以及 Alon–Saks–Seymour 问题。

提出的方法

• 在 $ 2n^2 $ 个变量上定义一个部分布尔函数 $ f $，其结构为 $ n \times n $ 的变量对矩阵 $ (x_{i,j,1}, x_{i,j,2}) $，其中每个条目代表一对比特。
• 使用 $ \ell = \log n $ 个独立的随机函数 $ r_k: [n] \times [n] \to [n] $，为每对行定义关联行，从而构建复杂的依赖结构。
• 定义 $ f(x) = 1 $，当且仅当存在一对匹配行（在每一列中对应条目均匹配），且它们的关联行均不为坏行（即不包含 (0,0) 条目）。
• 定义 $ f(x) = 0 $，如果存在大小不超过 $ (2\ell + 2)n $ 的 0-证书赋值；否则 $ f(x) = \ast $。
• 分析输入 $ z $，其对角线条目为 (1,0)，非对角线条目为 (0,1)，该输入确保 $ f(z) \neq 1 $，并利用概率计数和切尔诺夫不等式证明任何 $ \bar{0} $-证书都必须很大。
• 使用引理 1 限制在随机子集下未被破坏的匹配行对的数量，表明仅有 $ \ell \cdot n $ 对未被破坏，从而可利用 $ O(n) $ 个变量实现高效的 0-证书构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个部分布尔函数，使得对某个输入 $ x \in f^{-1}(\ast) $，均有 $ \bar{C}_0(f,x) $ 和 $ \bar{C}_1(f,x) $ 至少为 $ C(f)^{2-o(1)} $？
• RQ2 该难题公式中的指数 $ \alpha = 2 $ 是否最优，且能否实现？
• RQ3 该函数是否能导致证书复杂度 $ C(f) $ 与多项式次数 $ \deg(f) $ 之间近乎最优的分离？
• RQ4 该构造能否为图论中的团 vs. 独立集问题和 Alon–Saks–Seymour 问题提供紧致的下界？
• RQ5 该结果是否改进了已知的敏感度与多项式次数之间的分离？

主要发现

• 本文构造了一个单调的部分布尔函数 $ f $，使得对特定输入 $ z \in f^{-1}(\ast) $，均有 $ \bar{C}_0(f,z) $ 和 $ \bar{C}_1(f,z) $ 至少为 $ C(f)^{2-o(1)} $，在难题中实现了最优指数。
• 该构造表明 $ C(f) \geq \Omega(\deg(f)^{2-o(1)}) $，这是自 Kusilevitz 和 Nisan 在 1995 年提出结果以来的首次改进。
• 它为团 vs. 独立集问题中的共确定性通信复杂度建立了 $ \Omega(\log^{2-o(1)} n) $ 位的近乎最优下界。
• 它为 Alon–Saks–Seymour 问题给出了近乎最优的下界 $ \chi(G) \geq \exp(\Omega(\log^{2-o(1)} \operatorname{bp}(H))) $，与目前已知的最佳上界仅在低阶项上存在差异。
• 该结果表明 $ C(f) \geq \Omega(s(f)^{3-o(1)}) $，优于此前最佳结果 $ s(f)^{2.5} $。
• 分析表明 $ C_1(f) = \tilde{\Omega}(n) $，$ C_0(f) = \tilde{\Omega}(n) $，$ \bar{C}_1(f,z) = n^{2-o(1)} $，$ \bar{C}_0(f,z) = n^{2-o(1)} $，确认了其渐近增长行为。