[论文解读] Dichotomies for Maximum Matching Cut: $H$-Freeness, Bounded Diameter, Bounded Radius

Felicia Lucke, Daniël Paulusma+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Advanced Graph Theory Research被引用 2

一句话总结

本文为 H-自由图、有界直径图和有界半径图上的最大匹配割问题建立了完整的二分法。当图类被限制在 H ⊆i sP₂ + P₆、有界直径 ≤2 或有界半径 ≤1 时，证明了多项式时间可解性；否则为 NP-难，将匹配割和完美匹配割的已有结果推广至优化设置，并采用新方法，应用于不连通完美匹配问题。

ABSTRACT

The (Perfect) Matching Cut problem is to decide if a graph $G$ has a (perfect) matching cut, i.e., a (perfect) matching that is also an edge cut of $G$. Both Matching Cut and Perfect Matching Cut are known to be NP-complete. A perfect matching cut is also a matching cut with maximum number of edges. To increase our understanding of the relationship between the two problems, we perform a complexity study for the Maximum Matching Cut problem, which is to determine a largest matching cut in a graph. Our results yield full dichotomies of Maximum Matching Cut for graphs of bounded diameter, bounded radius and $H$-free graphs. A disconnected perfect matching of a graph $G$ is a perfect matching that contains a matching cut of $G$. We also show how our new techniques can be used for finding a disconnected perfect matching with a largest matching cut for special graph classes. In this way we can prove that the decision problem Disconnected Perfect Matching is polynomial-time solvable for $(P_6+sP_2)$-free graphs for every $s\geq 0$, extending a known result for $P_5$-free graphs (Bouquet and Picouleau, 2020).

研究动机与目标

• 对最大匹配割问题在关键图类（包括 H-自由图、有界直径图和有界半径图）中的计算复杂性进行分类。
• 将已知的匹配割和完美匹配割的多项式时间算法推广至优化版本——最大匹配割。
• 研究最大匹配割与不连通完美匹配相关问题之间的关系，特别是在特殊图类中的表现。
• 解决关于特定图类（包括直径为 3 和半径为 2 的图）的完美匹配割和不连通完美匹配复杂性的开放问题。
• 通过新结构技术建立统一框架，该框架可推广至最大匹配割和最大不连通完美匹配问题。

提出的方法

• 开发了具有大匹配割的图的新结构表征，特别关注禁止子图以及直径/半径约束。
• 使用归约技术证明：在直径为 3 和半径为 2 的 2P₃-自由四边形图中，最大匹配割为 NP-难，尽管已知匹配割在此类图中为多项式时间可解。
• 利用 P₆-自由图和 (P₆ + sP₂)-自由图的已知结果，将多项式时间算法扩展至最大匹配割和最大不连通完美匹配问题。
• 应用顶点删除闭包和遗传类分析技术，基于 H 的结构对 H-自由图进行分类。
• 证明最大匹配割的复杂性二分法与最大不连通完美匹配在相同图约束下保持一致。
• 利用不连通完美匹配（即包含匹配割的完美匹配）的概念，推导出 (P₆ + sP₂)-自由图的新多项式时间算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些图类中，最大匹配割是多项式时间可解的，而在哪些图类中是 NP-难的？
• RQ2 在 H-自由图、有界直径图和有界半径图中，最大匹配割的复杂性与匹配割和完美匹配割的复杂性相比如何？
• RQ3 用于最大匹配割的技术能否被改编以解决不连通完美匹配的优化版本？
• RQ4 直径为 3 的图中，完美匹配割的复杂性如何？半径为 2 的图中，不连通完美匹配的复杂性如何？
• RQ5 H-自由图中不连通完美匹配的多项式时间可解性是否意味着 (H + P₃)-自由图中也具有相同性质？

主要发现

• 最大匹配割在直径至多为 2 的图中为多项式时间可解，在直径至少为 3 的图中为 NP-难，确立了完整的二分法。
• 最大匹配割在半径至多为 1 的图中为多项式时间可解，在半径至少为 2 的图中为 NP-难，给出了完整的二分法。
• 对于 H-自由图，若 H ⊆i sP₂ + P₆（s ≥ 0），则最大匹配割为多项式时间可解；若 H 包含 K₁,₃、2P₃ 或 Cr（r ≥ 3），则为 NP-难。
• 最大不连通完美匹配的相同二分法也成立，证明了对任意 s ≥ 0，(P₆ + sP₂)-自由图中最大不连通完美匹配为多项式时间可解。
• 本文通过证明 (P₆ + sP₂)-自由图中不连通完美匹配为多项式时间可解，解决了开放问题，扩展了此前对 P₅-自由图的结果。
• 作者证明：尽管匹配割在四边形图中为多项式时间可解，但最大匹配割在直径为 3 和半径为 2 的 2P₃-自由四边形图中为 NP-难。