[论文解读] Dichotomy for Real Holant$^c$ Problems

Jin‐Yi Cai, Pinyan Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文在布尔域上针对具有实值约束函数（包括两种钉扎函数）的Holant$^c$问题建立了复杂性二分法。它基于对偶汉明码与局部全息变换，识别出一类新的可满足约束函数族$$\mathscr{L}$$，该族函数既非对称，也不属于此前#CSP框架中的任何可满足类，从而完整解决了该框架下的二分法问题，并解决了Holant复杂性理论中长期悬而未决的开放问题。

ABSTRACT

Holant problems capture a class of Sum-of-Product computations such as counting matchings. It is inspired by holographic algorithms and is equivalent to tensor networks, with counting CSP being a special case. A classification for Holant problems is more difficult to prove, not only because it implies a classification for counting CSP, but also due to the deeper reason that there exist more intricate polynomial time tractable problems in the broader framework. We discover a new family of constraint functions $\mathscr{L}$ which define polynomial time computable counting problems. These do not appear in counting CSP, and no newly discovered tractable constraints can be symmetric. It has a delicate support structure related to error-correcting codes. Local holographic transformations is fundamental in its tractability. We prove a complexity dichotomy theorem for all Holant problems defined by any real valued constraint function set on Boolean variables and contains two 0-1 pinning functions. Previously, dichotomy for the same framework was only known for symmetric constraint functions. he set $\mathscr{L}$ supplies the last piece of tractability. We also prove a dichotomy for a variant of counting CSP as a technical component toward this Holant dichotomy.

研究动机与目标

• 建立布尔域上具有实值约束函数的Holant$^c$问题的完整复杂性二分法。
• 识别并表征一类新的可满足约束函数族$\mathscr{L}$，其在#CSP框架中不存在，且非对称。
• 解决将二分法定理从对称约束函数扩展至Holant$^c$框架中一般（非对称）约束函数的开放问题。
• 证明一种计数#CSP变体的二分法，作为通往主Holant结果的技术中间步骤。

提出的方法

• 从对偶$[7,4]$-汉明码出发，引入一类新的约束函数族$\mathscr{L}$，其支撑集定义为$S = \{\mathbf{w}\overline{\mathbf{w}} \mid \mathbf{w} \in C^\perp\}$，其中$C^\perp$为$[7,4]$-汉明码的对偶码。
• 在$S$上定义函数$f$，使其在全1赋值点取值$(-1)^{x_1x_2x_4}$，其余点取值1，利用码的代数结构及其权重性质。
• 通过局部全息变换证明由$f$定义的Holant问题是可满足的，利用所有$\mathbf{w}\overline{\mathbf{w}} \in S$的汉明权重恰好为7，且两两交集大小恰好为3的性质。
• 采用基于钉扎变量及分析所得一元、二元和三元函数的递归分解策略，将其约化为已知的可满足或困难情形。
• 利用引理根据产生不同函数类型的变量赋值集合之间的汉明距离对情形进行分类，最终约化为广义相等函数或不可分解的三元函数。
• 借助#CSP与Holant$^*$的已知二分法结果作为技术工具，并证明一种计数#CSP变体的新二分法，作为证明的关键组成部分。

实验结果

研究问题

• RQ1 布尔域上具有实值约束函数的Holant$^c$问题的完整复杂性分类是什么？
• RQ2 在Holant中是否存在不出现于#CSP框架中且非对称的新可满足约束函数？
• RQ3 能否为具有广义（非对称）约束函数的Holant$^c$问题建立二分法定理？
• RQ4 约束函数的何种结构性质使得其在Holant框架中可满足，超越对称性或仿射类型？
• RQ5 纠错码与全息变换如何促进新一类Holant问题的可满足性？

主要发现

• 本文建立了布尔域上具有实值约束函数的Holant$^c$问题的完整复杂性二分法，将每一类此类问题分类为#P-难或多项式时间可计算。
• 发现了一类新的可满足约束函数族$\mathscr{L}$，其通过$[7,4]$-对偶汉明码与支撑集结构$S = \{\mathbf{w}\overline{\mathbf{w}} \mid \mathbf{w} \in C^\perp\}$定义，该族函数非对称，且不隶属于任何已知的#CSP可满足类。
• 在$S$上定义的函数$f$，在全1赋值点取值$(-1)^{x_1x_2x_4}$，其余点取值1，其可满足性源于码的代数与组合性质，特别是所有$\mathbf{w}\overline{\mathbf{w}}$的权重为7，且两两交集大小恰好为3。
• 该函数$f$的可满足性依赖于利用码结构的局部全息变换，表明此类变换在识别新可满足问题中具有根本作用。
• 证明通过递归钉扎与变量赋值集合间汉明距离的分析，将所有情形约化为已知的可满足或困难情形，最终依赖于对一元、二元与三元函数行为进行分类的引理。
• 本文还证明了一类计数#CSP变体的二分法，该结果作为建立主Holant二分法结果的关键技术组件。