[论文解读] Diffeomorphism groups of balls and spheres

Kathryn Mann|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文研究了球面与圆盘的微分同胚群的代数与动力结构，证明了奇维球面的光滑微分同胚群的单位连通分支到任意圆盘的 $C^1$ 微分同胚群不存在非平凡同态。该研究推广了 Ghys 与 Herman 的结果，构造了一个有限生成、无挠的群，其在 $S^1$ 上有光滑作用但无法提升为 $B^2$ 上的 $C^1$ 作用，并确立了从球面到圆盘提升群作用的根本代数障碍。

ABSTRACT

In this paper we discuss the relationship between groups of diffeomorphisms of spheres and balls. We survey results of a topological nature and then address the relationship as abstract (discrete) groups. We prove that the identity component Diff_0(S^{2n-1}) of the group of smooth diffeomorphisms of S^{2n+1} admits no nontrivial homomorphisms to the group of C^1 diffeomorphisms of the ball B^m for any n and m. This result generalizes theorems of Ghys and Herman. We also examine finitely generated subgroups of Diff_0(S^n) and produce an example of a finitely generated torsion free group Gamma with an action on the circle by smooth diffeomorphisms that does not extend to a C^1 action of Gamma on the disc.

研究动机与目标

• 理解球面与圆盘的微分同胚群之间的代数与动力差异。
• 研究有限生成群在球面上的作用是否可通过 $C^1$ 微分同胚提升至圆盘上的作用。
• 解决 $\operatorname{Diff}^\infty_0(S^{2n-1})$ 到 $\operatorname{Diff}^1_0(B^m)$ 的非平凡群同态的存在性问题。
• 构造光滑作用于 $S^1$ 上但无法提升为 $B^2$ 上 $C^1$ 作用的显式例子。
• 推广并扩展 Ghys 与 Herman 关于微分同胚群不存在群论截面的结果。

提出的方法

• 利用奇维球面上的有限阶微分同胚构造作用无法提升的子群。
• 应用表示论与矩阵中心化子论证，证明某些群无法拥有忠实的线性表示。
• 通过迭代 $p$-幂微分同胚的固定点集进行归纳约化，导出矛盾。
• 利用 Franks 与 Handel 关于有限群中扭曲元素的结果，构造关键例子。
• 分析微分同胚群中正规子群的结构，证明任何同态必为平凡同态。
• 使用锥构造与同伦扩张定理，比较拓扑与光滑提升性质的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在非平凡群同态从 $\operatorname{Diff}^\infty_0(S^{2k-1})$ 到 $\operatorname{Diff}^1_0(B^m)$，对任意 $k$ 与 $m$？
• RQ2 一个有限生成、无挠的群若在 $S^1$ 上有光滑作用，是否总能提升为 $B^2$ 上的 $C^1$ 作用？
• RQ3 有限阶微分同胚在从球面到圆盘提升群作用时起何作用？
• RQ4 是否存在阻止群论截面存在的代数障碍，针对限制映射 $\pi: \operatorname{Diff}^r_0(B^{n+1}) \to \operatorname{Diff}^r_0(S^n)$？
• RQ5 在光滑范畴中，球面与圆盘上微分同胚群的正规子群结构有何不同？

主要发现

• 对任意 $k \geq 1$ 与 $m$，$\operatorname{Diff}^\infty_0(S^{2k-1})$ 到 $\operatorname{Diff}^1_0(B^m)$ 不存在非平凡群同态，推广了 Herman 的结果。
• 存在一个有限生成、无挠的群 $\Gamma$，其在 $S^1$ 上有光滑作用但无法提升为 $B^2$ 上的 $C^1$ 作用，显示出与 $C^\infty$ 提升的显著差异。
• $\operatorname{Diff}^\infty_0(S^{2n-1})$ 在 $\operatorname{GL}(m,\mathbb{C})$ 中不存在非平凡线性表示，且该表示因子化自圆盘上的作用，这是由于中心化子与正规子群障碍所致。
• 在 $S^{2n-1}$ 上某类有限阶微分同胚群的换位子群中，唯一的正规子群是生成元的幂生成的循环群，这在进行线性化时导致矛盾。
• 无法提升的作用的构造依赖于奇维球面上自由的有限阶微分同胚及其提升性质的存在性。
• 提升失败的根本原因是代数性的，而非拓扑性的，因为拓扑截面（如通过锥映射）在同胚范畴中确实存在。