[论文解读] Diffeomorphism Groups of Compact 4-manifolds are not always Jordan

Balázs Csikós, László Pyber+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 33

一句话总结

本文通过证明某些紧致4-流形——具体而言，即在环面 $T^2$ 上的非平凡 $S^2$-丛的总空间——的微分同胚群不具有乔丹性质，从而构造了对 Ghys 猜想的反例。利用复线丛上的全纯结构及其自同构群，作者嵌入了具有任意大最小阿贝尔子群指数的有限子群，证明了微分同胚群不具有统一的乔丹有界性。

ABSTRACT

We show that if $M$ is a compact smooth manifold diffeomorphic to the total space of an orientable $S^2$ bundle over the torus $T^2$, then its diffeomorphism group does not have the Jordan property, i.e., Diff$(M)$ contains a finite subgroup $G_n$ for any natural number $n$ such that every abelian subgroup of $G_n$ has index at leat $n$. This gives a counterexample to an old conjecture of Ghys.

研究动机与目标

• 反驳 Ghys 猜想，即紧致光滑流形的微分同胚群总是具有乔丹性质。
• 构造紧致4-流形的显式例子，其微分同胚群不满足乔丹性质。
• 证明对于某些 $S^2$-丛（在 $T^2$ 上），其微分同胚群包含具有任意大最小阿贝尔子群指数的有限子群。
• 应用代数几何技术，特别是 Mumford 关于复环面上全纯线丛的理论，分析球丛的自同构群。
• 建立 $Y_n$（即 $P(\xi_n \oplus \xi_0)$ 的总空间）的微分同胚群包含与 $\mathcal{G}(\xi_n)$ 同构的子群，这些子群继承自基空间环面的非交换结构。

提出的方法

• 通过第一陈类 $c_1(\xi_n) = n \in \mathbb{Z}$ 对复环面 $T^2$ 上的光滑复线丛进行分类，将 $\xi_n$ 识别为 $\xi_1$ 的 $n$ 次张量幂。
• 构造相应的射影线丛 $Y_n = P(\xi_n \oplus \xi_0)$，其总空间是 $T^2$ 上的光滑 $S^2$-丛。
• 为 $\xi_n$ 赋予全纯结构；定义 $H(\xi_n)$ 为在平移拉回下保持 $\xi_n$ 不变的 $T^2$ 的子集。
• 定义 $\mathcal{G}(\xi_n)$ 为覆盖 $H(\xi_n)$ 中元素的全纯丛自同构群，形成中心扩张 $0 \to \mathbb{C}^* \to \mathcal{G}(\xi_n) \to H(\xi_n) \to 0$。
• 利用 Mumford 的结果：当 $n > 0$ 时，有 $H(\xi_n) \cong K \oplus \hat{K}$，其中 $K$ 为有限交换群，且 $|H(\xi_n)| = n^2$。
• 构造有限子群 $G_n \subset \mathcal{G}(\xi_n)$，同构于 $\mathbb{Z}_{\sqrt{N}} \times (K \oplus \hat{K})$，其中 $N = |H(\xi_n)| \geq n^2$，使得 $G_n$ 的任意阿贝尔子群的指数至少为 $n$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在紧致光滑4-流形，其微分同胚群不满足乔丹性质？
• RQ2 一个在 $T^2$ 上的 $S^2$-丛的总空间的微分同胚群是否可能包含具有任意大最小阿贝尔子群指数的有限子群？
• RQ3 复环面上全纯线丛的自同构群结构如何？其与相应球丛的微分同胚群有何关联？
• RQ4 Ghys 猜想——即所有紧致光滑流形的微分同胚群均具有乔丹性质——是否普遍成立？
• RQ5 椭圆曲线上全纯线丛的代数几何性质如何与微分同胚群的群论性质相关联？

主要发现

• 对于任意 $n > 0$，$Y_n$（即 $P(\xi_n \oplus \xi_0)$ 的总空间）的微分同胚群不具有乔丹性质。
• 对每个 $n > 0$，群 $\mathcal{G}(\xi_n)$ 包含一个有限子群 $G_n$，使得 $G_n$ 的任意阿贝尔子群的指数至少为 $n$。
• 当 $n > 0$ 时，群 $H(\xi_n)$ 的阶为 $n^2$，且 $\mathcal{G}(\xi_n)$ 包含一个有限子群 $G_n \cong \mathbb{Z}_{n} \times (K \oplus \hat{K})$，其中 $|K| = n$，故 $|G_n| = n^3$。
• 任何 $G_n$ 的阿贝尔子群的指数至少为 $n$，且该界是紧确的，如 Zarhin 在双有理自同构群背景下的论证所示。
• $Y_n$ 的微分同胚群包含所有 $m \equiv n \pmod{2}$ 的 $\mathcal{G}(\xi_m)$ 的同构拷贝，因此该反例可推广至 $T^2$ 上的平凡与非平凡 $S^2$-丛。
• 该结果为 Ghys 猜想提供了反例，表明仅靠紧致性不足以保证光滑流形的微分同胚群具有乔丹性质。