[论文解读] Difference between level statistics, ergodicity and localization transitions on the Bethe lattice

Giulio Biroli, Ana C. Ribeiro-Teixeira+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2012

Theoretical and Computational Physics参考文献 1被引用 46

一句话总结

该论文表明，在贝蒂晶格上，非相互作用的无序电子在扩展态与局域态之间表现出一种新颖的中间相，该相为扩展但非遍历态——其特征为泊松能级统计而非GOE。通过无规聚合物的统计力学与能级统计、本征态性质及局域态密度的数值分析，作者发现，在局域化转变之前，存在一个与无规聚合物问题中冻结-玻璃转变相关的遍历性转变，这表明高维系统中局域化转变的本质发生了根本性变化。

ABSTRACT

We show that non-interacting disordered electrons on a Bethe lattice display a new intermediate phase which is delocalized but non-ergodic, i.e. it is characterized by Poisson instead of GOE statistics. The physical signature of this phase is a very heterogenous transport that proceeds over a few disorder dependent paths only. We show that the transition to the usual ergodic delocalized phase, which takes place for a disorder strength smaller than the one leading to the localization transition, is related to the freezing-glass transition of directed polymers in random media. The numerical study of level and eigenstate statistics, and of the singular properties of the probability distribution of the local density of states all support the existence of this new intermediate phase. Our results suggest that the localization transition may change nature in high dimensional systems.

研究动机与目标

• 研究高维系统（特别是贝蒂晶格）中局域化转变的本质，其中传统理解可能失效。
• 解决长期存在的疑问：能级统计（GOE与泊松）与遍历性是否与局域化转变同步。
• 探索局域化转变与无序介质中无规聚合物的冻结-玻璃转变之间的联系。
• 利用统计力学与数值模拟表征这一中间相（即扩展但非遍历相）的特性。
• 研究该新相中的输运性质与本征态结构，特别是稀有主导路径的作用。

提出的方法

• 采用复制技巧与腔方法分析贝蒂晶格上的局域化转变，将问题映射为无序势场中的无规聚合物问题。
• 利用格林函数虚部 $ \text{Im}G_{i\to j} $ 的生成泛函，通过递推关系研究输运与局域化性质。
• 分析自由能 $ \tilde{\theta}(s) $ 及其对参数 $ s $ 的依赖性，$ s $ 用于表征 $ \text{Im}G_{i\to j} $ 分布的尾部，以检测非遍历性。
• 计算逆参与比（IPR）与能级统计（GOE与泊松），以区分遍历与非遍历相。
• 对有限 $ \tilde{\theta} $ 的递推方程进行数值模拟，研究耗散与退相干在体内的传播。
• 检查 $ \text{Im}G_{i\to j} $ 的概率分布，以检测中间相中幂律尾部与稀有共振事件。

实验结果

研究问题

• RQ1 贝蒂晶格上的局域化转变是否与能级统计从GOE到泊松的转变一致？
• RQ2 是否存在一种扩展但非遍历的相，其特征为尽管波函数扩展，却呈现泊松统计？
• RQ3 在无序强度 $ W_T $ 处的遍历性转变是否发生在局域化转变 $ W_L $ 之前？其物理起源是什么？
• RQ4 中间相中的输运行为与遍历相和局域相有何不同？
• RQ5 局域化转变与无序介质中无规聚合物的冻结-玻璃转变之间存在何种联系？

主要发现

• 在贝蒂晶格上，存在一个介于遍历扩展相与完全局域相之间的新中间相，该相为扩展但非遍历态，其特征为泊松能级统计。
• 遍历性转变发生在 $ W_T < W_L $ 处，$ W_T $ 对应该无规聚合物问题的冻结-玻璃转变，此时 $ \tilde{\theta}(s) $ 在 $ s^* < 2 $ 处出现尖点。
• 在中间相中，贡献于 $ \text{Im}G_{i\to j} $ 的路径之和由有限数量的无序依赖路径主导，导致高度非均匀的输运行为。
• $ \text{Im}G_{i\to j} $ 的分布表现出幂律尾部，表明存在稀有且随深入晶格而增大的共振事件。
• 尽管在体区大多数位点上 $ \text{Im}G_{i\to j} $ 保持有限，但 $ \text{exp}(\text{avg}[\text{log} \text{Im}G_{i\to j}]) $ 趋近于一个虽小但非零的值，表明存在持续但微弱的耗散。
• 在 $ W = W_L $ 处，$ s^* = 1 $，与局域化转变一致，且 $ \tilde{\theta}(s) $ 在 $ s > 1 $ 时消失，确认了局域化的开始。