[论文解读] Difference Sequence Spaces Derived by Generalized Weighted Mean

Harun Polat, Vatan Karakaya+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2010

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 10被引用 12

一句话总结

本文通过结合广义加权平均与差分算子，引入新的序列空间，建立了其拓扑性质（如完备性、AK/AD性质），并计算了其α-、β-和γ-对偶。文章推导出无限矩阵映射到ℓ∞和c的充要条件，实现了对新序列空间框架下矩阵变换的完整刻画。

ABSTRACT

In this work, we define new sequence spaces by combining generalized weighted mean and difference operator. Afterward, we investigate topological structure which are completeness, AK-property, AD-property. Also, we compute the alpha, beta and gamma duals, and obtain bases for these sequence spaces. Finally, necessary and sufficient conditions on an infinite matrix belonging to the classes (c(u,v,):\ell_{\infty}) and (c(u,v,):c) are established.

研究动机与目标

• 通过结合广义加权平均与差分算子，定义新的序列空间。
• 研究新序列空间中的拓扑性质，如完备性、AK与AD性质。
• 计算新序列空间的α-、β-和γ-对偶，并确定其基。
• 建立无限矩阵A属于变换类(c(u,v,Δ):ℓ∞)与(c(u,v,Δ):c)的必要与充分条件。

提出的方法

• 将序列空间c(u,v,Δ)定义为所有满足Δx的G(u,v)-变换属于c的序列x的集合，其中Δ为差分算子。
• 使用广义加权平均矩阵G(u,v)，其元素g_{nk} = u_n v_k（当k ≤ n时），否则为0。
• 应用变换技术，通过变量替换y_k = (1/u_k) * Σ_{i=0}^{k-1} (1/v_i - 1/v_{i+1}) x_i + (1/(u_k v_k)) x_k，表达矩阵映射。
• 通过分析变换后级数的收敛性与有界性，推导出矩阵A将c(u,v,Δ)映射到ℓ∞和c的必要与充分条件。
• 利用Hahn-Banach定理与对偶性理论，刻画新序列空间的α-、β-和γ-对偶。
• 通过标准Schauder基{e^{(k)}}建立序列空间c(u,v,Δ)的基，并利用AK与AD性质验证其稠密性。

实验结果

研究问题

• RQ1 由广义加权平均与差分算子结合形成的序列空间c(u,v,Δ)具有哪些拓扑性质（完备性、AK、AD）？
• RQ2 序列空间c(u,v,Δ)的α-、β-和γ-对偶是什么？其基是什么？
• RQ3 无限矩阵A映射到ℓ∞的充要条件是什么？
• RQ4 无限矩阵A映射到c的充要条件是什么？
• RQ5 矩阵A的变换性质如何与序列空间c(u,v,Δ)的结构相关联？

主要发现

• 在广义加权平均与差分算子诱导的范数下，序列空间c(u,v,Δ)是完备的。
• 空间c(u,v,Δ)具有AK性质，即标准基{e^{(k)}}是Schauder基，且φ在c(u,v,Δ)中稠密。
• c(u,v,Δ)的α-对偶由所有满足sup_n Σ_k |Σ_{i=0}^{k-1} (1/u_k)(1/v_i - 1/v_{i+1}) a_{nk} + (1/(u_k v_k)) a_{nk}| < ∞的序列a构成。
• c(u,v,Δ)的β-对偶由所有满足Σ_k (Σ_{i=0}^{k-1} (1/u_k)(1/v_i - 1/v_{i+1}) a_{nk} + (1/(u_k v_k)) a_{nk}) y_k收敛的序列a刻画，其中对所有y ∈ c(u,v,Δ)成立。
• c(u,v,Δ)的γ-对偶是所有满足sup_n |Σ_k (Σ_{i=0}^{k-1} (1/u_k)(1/v_i - 1/v_{i+1}) a_{nk} + (1/(u_k v_k)) a_{nk})| < ∞的序列a的集合。
• 当且仅当条件(4.1)–(4.4)成立时，矩阵A属于(c(u,v,Δ):ℓ∞)：即行和有界、级数收敛，且变换系数一致有界。