[论文解读] Differences in tension and compression in the nonlinearly elastic bending of beams

Michel Destrade, Jeremiah G. Murphy+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2009

Elasticity and Material Modeling参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文研究了具有拉伸与压缩响应差异的材料在非线性弹性弯曲中的行为，将材料建模为双模量材料。通过使用Mooney-Rivlin模型和三阶弹性理论，推导出在拉压不对称条件下变形的三次方程，表明中性轴处的应力不连续性——尽管数值较小——可能在循环弯曲中导致累积损伤，该结论得到天然橡胶实验数据的支持。

ABSTRACT

The classical flexure problem of non-linear incompressible elasticity is revisited for elastic materials whose mechanical response is different in tension and compression---the so-called bimodular materials. The flexure problem is chosen to investigate this response since the two regions, one of tension and one of compression, can be identified easily using simple intuition. Two distinct problems are considered: the first is where the stress is assumed continuous across the boundary of the two regions, which assumption has a sound physical basis. The second problem considered is more speculative: it is where discontinuities of stress are allowed. It is shown that such discontinuities are necessarily small for many applications, but might nonetheless provide an explanation for the damage incurred by repeated flexure. Some experimental evidence of the possibility of bimodularity in elastomers is also presented.

研究动机与目标

• 分析在拉伸和压缩下具有不同力学响应的梁的非线性弯曲行为。
• 利用Mooney-Rivlin应变能函数和三阶弹性近似方法对双模量材料进行建模。
• 研究在弯曲过程中中性轴处应力连续性与不连续性的物理影响。
• 评估中性轴处微小的应力跃迁是否可解释超弹性材料在重复弯曲循环中的渐进损伤。
• 基于已发表的应力-应变数据，为天然橡胶中的双模量特性提供实验支持。

提出的方法

• 以不可压缩、各向同性、非线性弹性理论中的经典弯曲问题为框架。
• 应用Mooney-Rivlin应变能函数及其三阶展开式，以描述拉压差异。
• 推导出以内半径伸长比λa为变量、包含剪切模量比ˆµ = µ+/µ−的三次方程。
• 假设即使在双模量材料中，形变构型仍与经典弯曲解一致，以隔离材料不对称性的影响。
• 通过线性化应变能估算应力不连续性∆T的量级，表明其与(µ−−µ+)成正比，并受一个小变形项影响。
• 将理论预测与Bechir等人[12]的实验数据进行比较，推断天然橡胶中存在双模量行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 材料响应中的拉压不对称性如何影响梁的非线性弯曲？
• RQ2 在双模量梁弯曲中，假设中性轴处应力连续或不连续会产生何种影响？
• RQ3 中性轴处微小的应力跃迁是否可解释超弹性材料在循环弯曲中的渐进损伤？
• RQ4 有哪些实验证据支持弹性体（如天然橡胶）中的双模量特性？
• RQ5 拉伸与压缩下剪切模量之比ˆµ如何影响弯曲梁的变形与应力分布？

主要发现

• 双模量梁在弯曲时的变形由一个包含伸长比λa和剪切模量比ˆµ的三次方程控制。
• 当ˆµ = 1时，解退化为经典弯曲解，证实与经典弹性理论的一致性。
• 当ˆµ → 0（压缩方向极刚）时，λa → 1，表明梁无法被弯曲，符合预期。
• 中性轴处的应力不连续性∆T与(µ−−µ+)成正比，并受一个小项(√(ϵ²+1)−1)影响，表明其虽小但非零。
• 模型预测，随着梁的长宽比或弯曲角度的增加，拉压不对称性的影响更加显著。
• 天然橡胶的实验数据表明其在压缩时响应更刚硬，支持弹性体中存在双模量特性的结论。