[论文解读] Different conceptions of Euclidean geometry

Yuri A. Rylov|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2007

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用 7

一句话总结

本文提出了欧氏几何的三种不同表示方式——E-表示法（点、线段、角）、V-表示法（点、具有线性空间的向量）以及σ-表示法（仅用一个元素，世界函数σ = ρ²/2）。其中，σ-表示法将距离作为基本结构通过σ编码，被证明是修改欧氏几何的最佳方式，因为任何此类修改都会导致多重变体几何，即存在多个大小和方向相同但彼此不相等的向量。

ABSTRACT

Three different representation of the proper Euclidean geometry are considered. They differ in the number of basic elements, from which the geometrical objects are constructed. In E-representation there are three basic elements (point, segment, angle) and no additional structures. V-representation contains two basic elements (point, vector) and additional structure: linear vector space. In σ-representation there is only one basic element and additional structure: world function σ = ρ 2 /2, where ρ is the distance. The concept of distance appears in all representations. However, as a structure, determining the geometry, the distance appears only in the σ-representation. The σ-representation is most appropriate for modification of the proper Euclidean geometry. Practically any modification of the proper Euclidean geometry turns it into multivariant geometry, where there are many vectors Q0Q1,Q0Q ′ 1,..., which are equal to the vector P0P1, but they are not equal between themselves, in general.

研究动机与目标

• 基于其基本元素和结构，分析并比较欧氏几何时不同基础表示法。
• 识别最适合在保持几何一致性的同时修改欧氏几何时的表示法。
• 研究将世界函数σ = ρ²/2作为基本结构引入后，如何实现系统的几何推广。
• 证明对欧氏几何时的修改自然导致多重变体几何，即相等的向量未必彼此相等。
• 确立σ-表示法作为探索非欧几何时或推广几何的最合适框架。

提出的方法

• 通过三个原始元素（点、线段、角）定义E-表示法，不依赖额外结构。
• 引入V-表示法，包含点和向量，并增加线性向量空间结构。
• 通过仅使用点作为基本元素，世界函数σ = ρ²/2作为唯一几何结构，构建σ-表示法。
• 利用世界函数σ编码距离和几何关系，取代传统的度量概念。
• 分析修改σ对几何一致性及向量相等性的影响。
• 证明在修改后的几何中，多个向量可与给定向量相等，但彼此之间却不相等，从而导致多重变异性。

实验结果

研究问题

• RQ1 欧氏几何时不同基础表示法在基本元素和结构需求方面有何不同？
• RQ2 σ-表示法相较于E-和V-表示法在几何推广方面具有哪些优势？
• RQ3 将距离编码为世界函数σ = ρ²/2如何从根本上改变几何的结构？
• RQ4 为何通过σ-表示法修改欧氏几何时必然导致多重变体几何？
• RQ5 σ-表示法如何实现对几何修改更系统、更一致的方法？

主要发现

• 基于单一基本元素（点）和世界函数σ = ρ²/2的σ-表示法，为修改欧氏几何时提供了最合适的基石。
• 在σ-表示法中，距离概念并非衍生量，而是直接编码于σ中的基本结构。
• 在σ-表示法中，对欧氏几何时的任何修改都会导致多重变体几何，即多个向量可与给定向量相等，但彼此之间却不相等。
• E-表示法缺乏距离的正式结构，而V-表示法依赖线性向量空间，两者在推广方面均不如σ-表示法合适。
• 通过将σ视为主要几何不变量，σ-表示法使得对非欧几何时或推广几何的一致且系统化的探索成为可能。
• 从单变体到多重变体几何的转变，是修改世界函数σ的直接结果，凸显了σ在几何结构中的核心作用。