[论文解读] Different Statistical Future of Dynamical Orbits over Expanding or Hyperbolic Systems (I): Empty Syndetic Center

Yiwei Dong, Xueting Tian|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 54被引用 12

一句话总结

本文提出一种统计框架，利用上/下自然密度与上/下Banach密度对扩张或双曲系统中具有空集合中心的轨道进行分类。研究证明存在十二种不同的统计结构，每种均表现出完全的拓扑熵，揭示了即使在非递归、测度为零的集合中，仍存在强烈的动力学复杂性。

ABSTRACT

In the theory of dynamical systems, a fundamental problem is to study the asymptotic behavior of dynamical orbits. Lots of different asymptotic behavior have been learned including different periodic-like recurrence such periodic and almost periodic, the level sets and irregular sets of Birkhoff ergodic avearge, Lyapunov expoents. In present article we use upper and lower natural density, upper and lower Banach density to differ statistical future of dynamical orbits and establish several statistical concepts on limit sets, in particular such that not only different recurrence are classifiable but also different non-recurrence are classifiable. In present paper we mainly deal with dynamical orbits with empty syndetic center and show that twelve different statistical structure over expanding or hyperbolic dynamical systems all have dynamical complexity as strong as the dynamical system itself in the sense of topological entropy. Moreover, multifractal analysis on various non-recurrence and Birkhoff ergodic averages are considered together to illustrate that the non-recurrent set has rich and colorful asymptotic behavior from the statistical perspective, although the non-recurrent set has zero measure for any invariant measure from the probabilistic perspective. Roughly speaking, on one hand our results describe a world in which there are twelve different predictable order in strongly chaotic systems but also there are strong chaos in any fixed predictable order from the viewpoint of dynamical complexity on full topological entropy; and on other hand we find that various asymptotic behavior such as (non-)recurrence and (ir)regularity from differnt perspecitve survive togother and display strong dynamical complexity in the sense of full topological entropy. In this process we obtain two powerful ergodic properties on entropy-dense property and saturated property.

研究动机与目标

• 通过统计密度对动力学轨道中的不同渐近行为（特别是非递归和不规则集合）进行分类。
• 分析在扩张或双曲系统中具有空集合中心的轨道的动力学复杂性。
• 调和非递归集合的统计丰富性（尽管在不变测度下测度为零）与拓扑复杂性之间的关系。
• 建立新的遍历性质（如熵稠密性和饱和性），以理解极限集。
• 证明即使在混沌系统中非递归行为也具有完全的拓扑熵，表明存在最大动力学复杂性。

提出的方法

• 利用上/下自然密度和上/下Banach密度定义动力学轨道的统计结构。
• 提出一种基于统计递归与非递归模式的极限集分类方案。
• 通过Birkhoff遍历平均和Lyapunov指数的多重分形结构分析，捕捉不规则与非递归行为。
• 使用拓扑熵作为动力学复杂性的度量，以比较轨道的统计结构。
• 建立两种新的遍历性质——熵稠密性与饱和性，适用于具有空集合中心的极限集。
• 将这些工具应用于证明系统中全部十二种统计结构均达到完全拓扑熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用基于密度的度量，对动力学轨道中不同类型的递归与非递归行为进行统计分类？
• RQ2 在扩张或双曲系统中，具有空集合中心的轨道的动力学复杂性如何？
• RQ3 尽管在不变测度下非递归集合测度为零，是否仍可能表现出丰富的统计与拓扑复杂性？
• RQ4 Birkhoff平均与Lyapunov指数的多重分形结构如何与轨道的统计分类相互作用？
• RQ5 在具有空集合中心的系统中，会涌现出哪些新的遍历性质？它们与拓扑熵有何关系？

主要发现

• 在扩张或双曲系统中，具有空集合中心的动力学轨道存在十二种不同的统计结构。
• 这十二种统计结构中的每一种均表现出完全的拓扑熵，表明具有最大动力学复杂性。
• 尽管在任何不变测度下非递归集合测度为零，但从统计角度看，其表现出丰富而多样的渐近行为。
• 对Birkhoff平均与Lyapunov指数的多重分形分析揭示了非递归区域中复杂且非均匀的分布。
• 熵稠密性与饱和性被确立为分析具有空集合中心极限集的强大工具。
• 结果表明，即使在固定且可预测的统计秩序中，强混沌依然存在，确认所有结构均具有完全拓扑熵。