[论文解读] Differentiability of Lipschitz maps from metric measure spaces to Banach spaces with the Radon Nikodym property

Jeff Cheeger, Bruce Kleiner|ArXiv.org|Aug 24, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 7被引用 10

一句话总结

该论文证明了从PI空间（具有Poincaré不等式的完备、加倍度量测度空间）到具有Radon-Nikodym性质（RNP）的巴拿赫空间的Lipschitz映射几乎处处可微。通过有限维巴拿赫空间的逆极限以及渐近赋范性质（ANP），作者表明在此框架下，弱导数蕴含强可微性，将Cheeger早期关于实值函数的结果推广至巴拿赫空间值目标。

ABSTRACT

We prove the differentiability of Lipschitz maps X-->V, where X is a complete metric measure space satisfying a doubling condition and a Poincaré inequality, and V is a Banach space with the Radon Nikodym Property (RNP). The proof depends on a new characterization of the differentiable structure on such metric measure spaces, in terms of directional derivatives in the direction of tangent vectors to suitable rectifiable curves.

研究动机与目标

• 将Cheeger在PI空间上关于实值函数的可微性理论推广至取值于具有Radon-Nikodym性质（RNP）的巴拿赫空间的映射。
• 在度量测度空间中，通过沿可求长曲线的方向导数表征可微性的条件。
• 证明在逆极限空间中，渐近赋范性质（ANP）可确保弱导数蕴含强可微性。
• 证明若存在到RNP目标的双Lipschitz嵌入，则会对PI空间的切结构施加强烈的几何约束。

提出的方法

• 将可分巴拿赫空间表示为有限维巴拿赫空间逆极限的子空间。
• 利用PI空间上实值函数的可微性，定义取值于逆极限 $ \varprojlim W_i $ 的Lipschitz映射 $ f: X \to V $ 的弱导数。
• 利用渐近赋范性质（ANP）将差商的弱收敛性与 $ V $ 中的强收敛性关联，从而保证可微性。
• 应用Egoroff定理与Lusin定理处理可测收敛性，并在几乎处处全测度集上构造一致逼近。
• 通过沿Lipschitz曲线的方向导数表征最小上梯度，将其与点态上Lipschitz常数关联。
• 证明通过图表 $ (U_\alpha, y^\alpha) $ 定义的切丛 $ TX $ 具有双Lipschitz不变结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 PI空间上实值Lipschitz函数的可微性理论能否推广至取值于具有RNP的巴拿赫空间的映射？
• RQ2 渐近赋范性质（ANP）在确保弱导数蕴含强可微性中起什么作用？
• RQ3 在度量测度空间中，沿可求长曲线的方向导数如何表征可微性？
• RQ4 到RNP空间的双Lipschitz嵌入会对PI空间的切锥施加何种几何约束？
• RQ5 逆极限框架是否足以捕捉一般RNP巴拿赫空间中Lipschitz映射的可微性？

主要发现

• 每个Lipschitz映射 $ f: X \to V $，其中 $ X $ 为PI空间且 $ V $ 具有RNP，几乎处处（关于 $ \mu $）可微。
• 可微性通过沿可求长曲线的方向导数表征，且最小上梯度 $ g_f $ 几乎处处（关于 $ \mu $）等于点态上Lipschitz常数 $ \hat{g}_f $。
• 若 $ f $ 的弱导数取值于逆极限 $ \varprojlim W_i $，则其取值于子空间 $ V \subset \varprojlim W_i $ 当且仅当 $ f $ 几乎处处（关于 $ \mu $）可微。
• ANP确保差商 $ \Delta_\epsilon f(\underline{x}) $ 沿 $ \{D_{\underline{x}}f_i\} $ 的弱收敛性蕴含在 $ V $ 中的强收敛性，从而保证可微性。
• 若 $ X $ 允许嵌入到具有RNP的巴拿赫空间中，则 $ \mu $-几乎处处，点 $ x \in X $ 处的切锥双Lipschitz同胚于欧几里得空间。
• 映射 $ f $ 的可微性等价于函数 $ h_{(a_1,\dots,a_{k(\alpha)})} $ 在全测度Borel集 $ Z \subset X $ 上的近似连续性，其中 $ h_{(a_1,\dots,a_{k(\alpha)})} $ 是图表函数 $ y^\alpha_m $ 的线性组合的最小上梯度。