[论文解读] Differentiability of relative volumes over an arbitrary non-Archimedean field

Sébastien Boucksom, Walter Gubler+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 36被引用 11

一句话总结

本论文建立了在任意非阿基米德域上，对于几何上约化的射影概形上的充分线丛的连续psh度量，其相对体积的可微性，将先前在离散赋值域上的结果推广至一般情况。关键贡献在于提出一个变分公式，将相对体积的导数与非阿基米德Monge–Ampère测度联系起来，从而能够求解非阿基米德Monge–Ampère方程，并通过上同调行列式与Deligne对偶对Fekete点的等分布结果进行推广。

ABSTRACT

Given an ample line bundle $L$ on a geometrically reduced projective scheme defined over an arbitrary non-Archimedean field, we establish a differentiability property for the relative volume of two continuous metrics on the Berkovich analytification of $L$, extending previously known results in the discretely valued case. As applications, we provide fundamental solutions to certain non-Archimedean Monge--Amp\\`ere equations, and generalize an equidistribution result for Fekete points. Our main technical input comes from determinant of cohomology and Deligne pairings.

研究动机与目标

• 将相对体积的可微性从离散赋值域推广至任意非阿基米德域。
• 为求解非阿基米德Monge–Ampère方程提供一种变分方法。
• 将Fekete点的等分布结果推广至离散赋值域之外的情形。
• 在任意非阿基米德域上的Berkovich几何背景下，建立相对体积的基础可微性性质。
• 通过Deligne对偶与上同调行列式处理非诺特赋值环。

提出的方法

• 采用线丛与度量的加法记法，通过上同调范数行列式的对数比值定义相对体积。
• 应用上同调行列式与Deligne对偶，处理非离散赋值情形下的非诺特赋值环。
• 采用受Abbes–Bouche与Yuan启发的变分方法，将阿拉凯洛夫几何中的技术加以拓展。
• 依赖于包络的连续性与psh度量的正交性，以控制收敛性与可微性。
• 通过包络的一致收敛性与psh度量的正则化方法，建立能量泛函的可微性。
• 利用非阿基米德Monge–Ampère测度 $(dd^c\theta)^n$ 来刻画相对体积导数的特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 相对体积泛函在任意非阿基米德域上（而不仅限于离散赋值域）是否仍保持可微性？
• RQ2 求解Monge–Ampère方程的变分方法能否推广至离散赋值域之外的情形？
• RQ3 相对体积的可微性与非阿基米德Monge–Ampère测度之间有何关系？
• RQ4 Deligne对偶与上同调行列式在处理非诺特赋值环中起什么作用？
• RQ5 Fekete点的等分布结果能否推广至非离散赋值的非阿基米德域？

主要发现

• 在任意连续psh度量处，相对体积泛函是可微的，其导数由测试函数关于非阿基米德Monge–Ampère测度的积分为：$\frac{d}{dt}\big|_{t=0} \operatorname{vol}(L,\phi+tf,\phi) = \int_{X^{\mathrm{an}}} f \, (dd^c\phi)^n$。
• 通过变分方法构造了非阿基米德Monge–Ampère方程的基本解，其中平衡度量 $\phi_x = \operatorname{P}(\{x\},\phi)$ 满足 $V^{-1}(dd^c\phi_x)^n = \delta_x$，对 $L$-正则点成立。
• 该可微性结果适用于任意完备的非阿基米德域，包括平凡赋值与稠密集赋值域，推广了此前仅限于离散赋值或剩余特征零情形的结果。
• 能量泛函 $\operatorname{E} \circ \operatorname{P}$ 在每个连续psh度量处均可微，其导数可通过Monge–Ampère测度表达。
• 证明依赖于包络的连续性与包络的一致收敛性，确保了在一般非离散赋值情形下变分论证的有效性。
• 该结果将Fekete点的等分布性推广至离散赋值域之外的情形，前提是包络连续。