[论文解读] Differentiability of the van der Waals interaction between two atoms

Ioannis Anapolitanos, Mathieu Lewin+1 more|Repository KITopen (Karlsruhe Institute of Technology)|Jan 1, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文在 Born-Oppenheimer 近似下建立了两个原子之间范德瓦尔斯相互作用能的可微性，证明了在单个原子不可约性条件下的范德瓦尔斯-伦敦定律。它严格证明了在远距离下相互作用能的严格单调性和凹性，推导出其一阶和二阶导数的主导行为，从物理意义上对应于力及其变化率。

ABSTRACT

In this work we improve upon previous results on the expansion of the interaction energy of two atoms. On the one hand we prove the van der Waals-London's law, assuming that only one of the ground state eigenspaces of the atoms is irreducible in an appropriate sense. On the other hand we prove strict monotonicity of the interaction energy at large distances and, under more restrictive assumptions, we provide the leading order of its first two derivatives. The first derivative is interpreted as the force in Physics. Moreover, the estimates of the first two derivatives provide a rigorous proof of the monotonicity and concavity of the interaction energy at large distances.

研究动机与目标

• 在 Born-Oppenheimer 近似下，严格建立两个原子之间范德瓦尔斯相互作用能的可微性。
• 在仅有一个原子基态本征空间不可约的假设下，证明范德瓦尔斯-伦敦色散定律。
• 分析相互作用能在长距离下的行为，重点研究其一阶和二阶导数，以表征力及其变化。
• 为相互作用能在大原子间距下的单调性和凹性提供数学基础。
• 从量子力学原理出发，严格推导出相互作用能及其导数的主导阶渐近行为，以数学精度确认物理直觉。

提出的方法

• 使用 Feshbach 投影方法分析两个分离原子的哈密顿算符的谱性质。
• 应用 Zhislin 和 HVZ 定理，确保基态能量是本质谱之下的孤立本征值。
• 将相互作用哈密顿量 $ I $ 按原子间距离 $ r $ 进行微扰展开，将 $ r^{-1 $ 视为远距离下的小参数。
• 利用 Feshbach 映射和谱投影技术估计能量位移 $ E(r) - E(∞) $，表明其行为为 $ -\sigma r^{-6} + O(r^{-7}) $。
• 应用第二个预解式恒等式和导数估计，控制投影哈密顿量对 $ r $ 的依赖性，从而实现能量的可微性。
• 利用基于 Feshbach 映射的测试函数能量泛函 $ D(r) $ 的单调性，通过反证法和谱比较推断出 $ E(r) $ 在大 $ r $ 下严格递增。

实验结果

研究问题

• RQ1 在两个原子的基态本征空间非简并或不可约的条件下，范德瓦尔斯-伦敦色散定律在什么条件下成立？
• RQ2 在大原子间距下，相互作用能是否严格单调？能否严格证明？
• RQ3 相互作用能对原子间距的一阶和二阶导数的主导阶渐近行为是什么？
• RQ4 如何从量子力学原理严格推导出力及其变化率（即能量的一阶和二阶导数）？
• RQ5 能否从数学上建立相互作用能在远距离下的凹性，以确认物理预期？

主要发现

• 在仅有一个原子基态本征空间不可约的条件下，相互作用能 $ E(r) $ 满足范德瓦尔斯-伦敦定律：$ E(r) = E(\infty) - \sigma r^{-6} + O(r^{-7}) $。
• 能量 $ E(r) $ 在大 $ r $ 下严格递增，这意味着相互作用力为吸引力，且随距离增加而变得不那么排斥。
• 一阶导数 $ \frac{dE}{dr} $ 的行为为 $ 6\sigma r^{-7} + O(r^{-8}) $，对应于系统中的物理力。
• 二阶导数 $ \frac{d^2E}{dr^2} $ 为负，且行为为 $ -42\sigma r^{-8} + O(r^{-9}) $，证实了在远距离下能量曲线的凹性。
• 对导数的估计具有 $ O_d^\infty $ 意义下的统一性，表明其对微扰和原子结构的依赖具有鲁棒性。
• 利用基于 Feshbach 映射的测试泛函 $ D(r) $ 的单调性，通过反证法和谱比较，证明了 $ E(r) $ 在大 $ r $ 下严格递增。