[论文解读] Differentiable Cohomology of Gauge Groups

Jean-Luc Brylinski|ArXiv.org|Nov 11, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 23

一句话总结

本文提出了一种用于李群（特别是规范群）的可微上同调理论，系数取自 $\mathbb{C}^*$，通过在分类空间 $BG$ 上的单纯层实现。该理论建立了可微上同调与德利涅上同调之间的联系，通过截断的德拉姆上同调构造了显式的局部上循环，并证明了由导出李代数上循环推广了卡克-莫迪与博特-舒尔曼-斯塔舍夫上循环，为二阶特征类提供了全纯框架。

ABSTRACT

We give a definition of differentiable cohomology of a Lie group G (possibly infinite-dimensional) with coefficients in any abelian Lie group. This differentiable cohomology maps both to the cohomology of the group made discrete and to Lie algebra cohomology. We show that the secondary characteristic classes of Beilinson lead to differentiable cohomology classes with coefficients in C*. These may be viewed as an enrichment of the Chern-Simons differential forms. By transgression, classes in differentiable cohomology of a Lie group G lead to differentiable cohomology classes for gauge groups Map(M,G). These classes generalize the central extensions of loop groups. We also discuss holomorphic cohomology of complex Lie groups as the natural place to construct secondary classes. We present several conjectures relating the above cohomology classes to the differential forms of Bott-Shulman-Stasheff.

研究动机与目标

• 为具有阿贝尔李群 $A$ 系数（特别是 $\mathbb{C}^*$）的李群发展一种可微上同调理论，以分类中心扩张并推广已知的特征类。
• 为复化规范群上的可微上同调类建立全纯框架，将其与贝林森的特征类及德利涅上同调联系起来。
• 通过将德利涅上同调约化为截断的德拉姆上同调，在单位元邻域内构造显式的局部群上循环。
• 证明这些类所导出的李代数上循环推广了卡克-莫迪 2-上循环以及特然、洛代-奎伦与费金的高维类。
• 通过在全纯上下文中使用转移和德利涅上同调，证明规范理论中的互反律，从而澄清其意义。

提出的方法

• 将 $H^l_{\text{diff}}(G,A)$ 定义为在单纯流形 $BG$ 上取值于光滑 $A$-值函数的单纯层 $\underline{A}$ 的上同调。
• 利用指数正合列将 $\mathbb{Z}$、$\mathbb{C}$ 和 $\mathbb{C}^*$ 系数的上同调联系起来，从而在 $G$ 为紧致时计算出 $H^l_{\text{diff}}(G,\mathbb{C}^*) \cong H^{l+1}(G,\mathbb{Z})$。
• 通过贝林森在德利涅上同调中的特征类，构造 $H^{2p-1}_{\text{hol}}(G_\mathbb{C},\mathbb{C}^*)$ 中的全纯上同调类，对应于 $H^{2p}(BG,\mathbb{Z})$ 中的特征类。
• 通过聚焦于德利涅上同调的德拉姆部分，在单位元附近局部化构造，将其约化为由 $G^q$ 上形式族 $(\omega_1, \dots, \omega_p)$ 表示的截断德拉姆上同调类。
• 通过对局部群上循环求导，得到涉及微分形式楔积及李代数值映射导数的显式公式，从而导出李代数上循环。
• 通过德利涅上同调中的转移及全纯转移映射，在复流形中嵌入具有边界的流形上的规范群上证明互反律。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有 $\mathbb{C}^*$ 系数的规范群定义可微上同调，以分类中心扩张并推广已知的特征类？
• RQ2 可微上同调类与德利涅上同调中贝林森的特征类之间有何关系？
• RQ3 能否通过截断的德拉姆上同调在单位元邻域内构造显式的局部群上循环？
• RQ4 这些类所导出的李代数上循环如何与卡克-莫迪及高维博特-舒尔曼-斯塔舍夫上循环相关联？
• RQ5 规范理论中互反律的全纯起源是什么？如何通过德利涅上同调中的转移来证明？

主要发现

• 对于紧致李群 $G$，有 $H^l_{\text{diff}}(G,\mathbb{C}^*) \cong H^{l+1}(G,\mathbb{Z})$，从而直接计算出 $\mathbb{C}^*$ 系数的可微上同调。
• 该构造在 $H^{2p-1}_{\text{hol}}(G_\mathbb{C},\mathbb{C}^*)$ 中产生一个全纯上同调类，对应于 $H^{2p}(BG,\mathbb{Z})$ 中的特征类，推广了切eger-simons 类。
• 当 $k = p-1$ 时，导出的李代数上循环为 $c(\xi_1, \dots, \xi_p) = \int_X \omega_p(\xi_1, d\xi_2, \dots, d\xi_p)$，这是卡克-莫迪上循环的直接高维推广。
• 德利涅类的德拉姆部分与博特-舒尔曼-斯塔舍夫形式一致的猜想，意味着在单位元邻域内可得到显式的局部上循环公式。
• 通过对上循环求导得到的李代数上循环，是余链 $\xi \mapsto \int_X \alpha$ 的斜对称化，其中 $\alpha$ 是由 $\omega_m$ 及 $\xi_i$ 的导数构造的 $k$-形式。
• 通过德利涅上同调的构造为互反律提供了自然框架，这些互反律在全纯上下文中被证明，并澄清了关于环群与规范群的早期结果。