[论文解读] Differentiable cyclic cohomology and Hopf algebraic structures in transverse geometry

Alain Connes, Henri Moscovici|ArXiv.org|Feb 20, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用 49

一句话总结

本文建立了与流形在微分同胚下作用的横截微分算子相关的扩展霍普夫代数 $\mathcal{H}_{FM}$ 的周期霍普夫循环上同调，与形式向量场的盖尔范德-富克斯上同调之间的典范同构。该同构通过一个由无挠联络构造的上链映射实现，使得在非平坦横截情况下，能够对拟椭圆符号算子的横截指标公式进行直接、几何化的处理，而无需假设横截的平坦性。

ABSTRACT

We prove a cyclic cohomological analogue of Haefliger's van Est-type theorem for the groupoid of germs of diffeomorphisms of a manifold. The differentiable version of cyclic cohomology is associated to the algebra of transverse differential operators on that groupoid, which is shown to carry an intrinsic Hopf algebraic structure. We establish a canonical isomorphism between the periodic Hopf cyclic cohomology of this extended Hopf algebra and the Gelfand-Fuchs cohomology of the Lie algebra of formal vector fields. We then show that this isomorphism can be explicitly implemented at the cochain level, by a cochain map constructed out of a fixed torsion-free linear connection. This allows the direct treatment of the index formula for the hypoelliptic signature operator - representing the diffeomorphism invariant transverse fundamental $K$-homology class of an oriented manifold - in the general case, when this operator is constructed by means of an arbitrary coupling connection.

研究动机与目标

• 通过将曲率纳入上同调框架，将横截指标定理的适用范围从平坦横截条件扩展至一般情形。
• 为流形上微分同胚芽的群胚构造一个微分循环上同调理论，通过‘加厚’的霍普夫代数 $\mathcal{H}_{FM}$ 引入曲率。
• 在上链层面上实现 $\mathcal{H}_{FM}$ 的周期霍普夫循环上同调与形式向量场的盖尔范德-富克斯上同调之间的同构。
• 为叶状理论中的经典陈类与第二类类提供基于几何连接的循环上同调代表式。

提出的方法

• 将扩展霍普夫代数 $\mathcal{H}_{FM}$ 引入为在流形 $M$ 的主联络丛 $FM \rtimes \Gamma_M$ 上的横截微分算子（含变系数）的代数。
• 将 $\mathcal{H}_{FM}$ 定义为 $\mathcal{R}_{FM} = C^\infty(FM)$ 上的双模，其余乘积取值于 $\mathcal{R}_{FM}$ 上的张量积，从而推广标准霍普夫结构。
• 构造一个从 $\mathcal{H}_{FM}$ 的周期霍普夫循环上同调到形式向量场的盖尔范德-富克斯上同调的典范上链映射，该映射明确由 $M$ 上一个固定的无挠线性联络构造而成。
• 利用主丛 $PM$ 上的拟椭圆微分法定义一个谱三元组，并通过涉及算子迹与沃日齐余迹的局部指标公式计算陈特征。
• 证明拟椭圆符号算子 $Q = D|D|$ 的陈特征所对应的上链属于相对李代数上同调 $H^*({\mathfrak{a}}_n, SO(n))$ 的特征同态像，通过将其表示为连接形式与曲率形式的组合。
• 证明代表横截指标的上链由联络形式 $\omega_\nabla$、曲率形式 $\Omega_\nabla$ 以及 $FM \rtimes \Gamma_M$ 的喷层群胚上的位移函数 $\gamma_{jk}^i$、$\gamma_{jk,\ell}^i$ 构成。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过引入曲率，将拟椭圆算子的横截指标公式推广至横截非平坦的一般情形？
• RQ2 是否存在自然扩展的霍普夫代数 $\mathcal{H}_{FM}$ 的周期霍普夫循环上同调与形式向量场的盖尔范德-富克斯上同调之间的典范同构？
• RQ3 该同构能否通过几何数据（如无挠联络）在上链层面上实现？
• RQ4 拟椭圆符号算子的陈特征在 $\mathcal{H}_{FM}$ 的循环上同调中能否以连接形式与曲率形式表示？
• RQ5 位移函数 $\gamma_{jk}^i$ 与 $\gamma_{jk,\ell}^i$ 在实现经典特征类的循环上同调对应物中起什么作用？

主要发现

• 建立了 $\mathcal{H}_{FM}$ 的周期霍普夫循环上同调与 $\mathbb{R}^n$ 上形式向量场的李代数的盖尔范德-富克斯上同调之间，以及其 $SO(n)$-相对版本之间的典范同构。
• 该同构通过一个明确由基流形 $M$ 上的无挠线性联络构造的上链映射在上链层面上实现，为上同调对应提供了几何实现。
• 证明了拟椭圆符号算子 $Q = D|D|$ 的陈特征是 $H^*({\mathfrak{a}}_n, SO(n))$ 中一个普遍类 $\mathcal{L}_n$ 在特征同态下的像，从而在一般情形下证明了横截指标定理。
• 代表横截指标的上链由联络形式 $\omega_\nabla$、曲率形式 $\Omega_\nabla$ 以及喷层群胚上的位移函数 $\gamma_{jk}^i$、$\gamma_{jk,\ell}^i$ 构成，从而实现了特征类的直接几何构造。
• 该方法使得横截指标公式的计算不再需要横截为平坦，消除了早期形式中的关键几何限制。
• 上链映射确保了指标公式在微分同胚下不变，符合流形的横截基本 $K$-同调类的要求。