[论文解读] Differentiable structures on metric measure spaces: A Primer

Bruce Kleiner, John Mackay|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 16

一句话总结

本文为度量测度空间上的可测可微结构提供了简明的导论，证明了满足Poincaré不等式的双倍空间具有有限维的可测可微结构。关键结果表明，每个Lipschitz函数几乎处处关于由Lipschitz函数定义的坐标图块可微，将Rademacher定理从欧几里得空间推广至更一般的情形。

ABSTRACT

This is an exposition of the theory of differentiable structures on metric measures spaces, in the sense of Cheeger and Keith.

研究动机与目标

• 为度量测度空间中Cheeger的可测可微结构理论提供清晰且易于理解的阐述。
• 澄清并简化Cheeger与Keith的奠基性证明，特别是Poincaré不等式与双倍条件下的可微结构构造。
• 证明Poincaré不等式的存在性意味着可微结构的有限维性。
• 证明Poincaré不等式蕴含Lipschitz-下分布（Lip-lip）不等式，这是可微性所必需的关键条件。
• 证明Poincaré不等式蕴含拟凸性，这是空间结构的关键几何性质。

提出的方法

• 通过可数多个坐标图块定义可测可微结构，每个图块由有限个Lipschitz函数构成的元组给出。
• 应用Poincaré不等式，通过球上的积分平均来控制Lipschitz函数的振荡。
• 利用Poincaré不等式建立Lip-lip不等式，将点态Lipschitz常数与振荡控制联系起来。
• 使用覆盖论证与二进制分解，通过一系列球将邻近点的函数值关联起来。
• 利用上梯度与Poincaré不等式，控制函数在球链上的振荡。
• 通过在截断距离函数上应用Poincaré不等式，构造具有受控长度的ε-路径，从而证明拟凸性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种度量测度空间条件下，可测可微结构存在？
• RQ2 Poincaré不等式如何导致可微结构的有限维性？
• RQ3 Lip-lip不等式与可微结构的存在性之间有何关系？
• RQ4 Poincaré不等式如何在双倍度量测度空间中蕴含拟凸性？
• RQ5 在缺乏光滑结构的空间中，是否能保证Lipschitz函数几乎处处可微？

主要发现

• 支持p-Poincaré不等式的双倍度量测度空间具有可测可微结构，其维数上界仅依赖于双倍常数与Poincaré常数。
• Poincaré不等式的存在性蕴含Lip-lip不等式，后者通过点态Lipschitz常数控制Lipschitz函数的振荡。
• Lip-lip不等式足以确保每个Lipschitz函数关于坐标图块几乎处处可微。
• Poincaré不等式意味着空间是拟凸的，即任意两点间存在一条长度至多为距离常数倍的 rectifiable 路径。
• 该构造得到的可测可微结构中，Lipschitz函数的微分几乎处处唯一（模零测集），且与度量和测度相容。