[论文解读] Differential Calculus, Manifolds and Lie Groups over Arbitrary Infinite Fields

Wolfgang Bertram, Helge Glöckner+1 more|ArXiv.org|Mar 25, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文在任意无限域和拓扑环上建立了统一的、公理化的微分学，推广了经典的C^k理论。通过将C^1映射定义为差商（f[x+tv]-f[x]）/t在t=0处的连续延拓，该理论将可微微分学扩展至非局部凸拓扑向量空间，在局部凸情形下恢复了Keller的C^k_c理论，并实现了实数、复数与非阿基米德（ultrametric）情形下的统一处理。

ABSTRACT

We present an axiomatic approach to finite- and infinite-dimensional differential calculus over arbitrary infinite fields (and, more generally, suitable rings). The corresponding basic theory of manifolds and Lie groups is developed. Special attention is paid to the case of mappings between topological vector spaces over non-discrete topological fields, in particular ultrametric fields or the fields of real and complex numbers. In the latter case, a theory of differentiable mappings between general, not necessarily locally convex spaces is obtained, which in the locally convex case is equivalent to Keller's C^k_c-theory.

研究动机与目标

• 在任意无限域及适当环上发展一般微分学。
• 统一实数、复数与非阿基米德情形下有限维与无限维微分学的处理。
• 将可微微分学扩展至非局部凸拓扑向量空间。
• 提供一种C^k理论，使其在局部凸情形下退化为Keller的C^k_c理论。
• 为任意拓扑域上的流形与李群建立理论基础。

提出的方法

• 通过将差商映射(x,v,t) ↦ (f(x+tv)−f(x))/t在t=0处连续延拓来定义C^1映射。
• 以f[1](x,v,t)在U[1] = {(x,v,t) | x∈U, x+tv∈U}上存在且连续作为C^1的核心定义。
• 通过高阶差商与k重线性微分形式将框架推广至C^k映射。
• 将该理论应用于非离散拓扑域上的拓扑向量空间，包括非阿基米德与阿基米德域。
• 利用此微分学构建流形与李群，其结构通过C^k图册与群运算定义。
• 通过积分表示与Boman定理，建立该理论与Keller的C^k_c理论在局部凸情形下的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖R或C特定性质的前提下，为任意无限域建立统一的微分学？
• RQ2 在经典定义失效的非局部凸空间中，如何定义C^1映射？
• RQ3 差商的连续延拓是否普遍刻画了拓扑向量空间中的C^1映射？
• RQ4 该微分学在局部凸情形下与Keller的C^k_c理论有何关系？
• RQ5 能否在此框架下一致地定义任意拓扑域上的流形与李群？

主要发现

• 所提出的基于差商映射连续延拓的C^1定义，在实数与复数情形下与经典C^1理论等价。
• 在局部凸情形下，该理论恢复了Keller的C^k_c理论，验证了其与既有框架的一致性。
• 该微分学可统一应用于实数、复数与非阿基米德域，消除了分别处理的需要。
• 该理论允许在非局部凸拓扑向量空间上进行可微微分学，扩展了微分几何的适用范围。
• C^k映射可通过其k阶差商映射在k重线性形式空间中取值且连续存在来表征。
• 该理论支持在任意拓扑域（包括非阿基米德域）上构建无限维流形与李群。