[论文解读] Differential calculus on a Lie algebroid and Poisson manifolds

Charles-Michel Marle|ArXiv.org|Apr 15, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 19被引用 21

一句话总结

本文建立了李代数丛上微分微积分的全面理论，将外微分、李导数和舒坦-尼亨惠斯括号的框架从切丛与余切丛推广至李代数丛。本文证明了泊松流形的余切丛自然具有李代数丛结构，并证明了在纤维方向位似向量场作用下，对偶丛 $E^*$ 上的泊松结构具有齐次性，满足 $[Z, \Lambda] = -\Lambda$，统一了泊松几何中的几何结构。

ABSTRACT

A Lie algebroid over a manifold is a vector bundle over that manifold whose properties are very similar to those of a tangent bundle. Its dual bundle has properties very similar to those of a cotangent bundle: in the graded algebra of sections of its external powers, one can define an operator similar to the exterior derivative. We present in this paper the theory of Lie derivatives, Schouten-Nijenhuis brackets and exterior derivatives in the general setting of a Lie algebroid, its dual bundle and their exterior powers. All the results (which, for their most part, are already known) are given with detailed proofs. In the final sections, the results are applied to Poisson manifolds.

研究动机与目标

• 将经典微分微积分（外微分、李导数、舒坦-尼亨惠斯括号）从切丛与余切丛的框架推广至李代数丛的设定。
• 在一般李代数丛框架下，对已知结果提供详细且自包含的证明，阐明其与经典微分几何的结构类比。
• 将所发展的理论应用于泊松流形，证明其余切丛继承了李代数丛结构。
• 建立对偶丛 $E^*$ 上泊松结构的几何性质，特别是其在纤维方向位似向量场下的齐次性。
• 证明余切丛上余切映射 $\,{}^{t}\!\rho: T^*M \to E^*$ 是一个泊松映射，将 $T^*M$ 上的典范辛结构与 $E^*$ 上的泊松结构联系起来。

提出的方法

• 将李代数丛形式化定义为在流形 $M$ 上的向量丛 $E$，配备其光滑截面上的李括号以及满足莱布尼茨法则的丛映射 $\rho: E \to TM$。
• 推导截面与光滑函数之间的莱布尼茨型公式 $\{s_1, fs_2\} = f\{s_1, s_2\} + (i(\rho \circ s_1)df)s_2$。
• 在对偶丛 $E^*$ 的外幂截面的分次代数上构造外微分 $d_E$，将其推广为经典德拉姆微分。
• 定义并研究李代数丛上多向量场的舒坦-尼亨惠斯括号，推广经典括号。
• 证明对偶丛 $E^*$ 上的泊松二阶张量 $\Lambda$ 满足 $[Z, \Lambda] = -\Lambda$，其中 $Z$ 生成纤维方向的位似变换。
• 利用向量场 $Z$ 的流 $H_t$ 的拉回 $H_t^*$ 证明 $H_t^*\Lambda = e^{-t}\Lambda$，从而导出李导数恒等式 $[Z, \Lambda] = -\Lambda$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典流形上的微分微积分（特别是外微分与李导数）推广至李代数丛的设定？
• RQ2 在李代数丛及其对偶的语境下，舒坦-尼亨惠斯括号的精确结构是什么？
• RQ3 泊松流形的余切丛如何从泊松二阶张量继承李代数丛结构？
• RQ4 对偶丛 $E^*$ 上的泊松结构是否在纤维方向位似向量场 $Z$ 作用下具有齐次性？若是，其精确的李导数关系为何？
• RQ5 余切映射 $\,{}^{t}\!\rho: T^*M \to E^*$ 是否为从 $T^*M$ 上的典范辛结构到 $E^*$ 上泊松结构的泊松映射？

主要发现

• 李代数丛上的舒坦-尼亨惠斯括号推广了经典多向量场上的括号，且满足一致的莱布尼茨型恒等式。
• 在 $E^*$-值微分形式的分次代数上，外微分 $d_E$ 满足 $d_E^2 = 0$，将德拉姆复形推广至李代数丛。
• 对偶丛 $E^*$ 上的泊松结构在纤维方向位似向量场 $Z$ 作用下具有齐次性，满足 $[Z, \Lambda] = -\Lambda$，其证明基于流 $H_t$ 的拉回。
• 余切映射 $\,{}^{t}\!\rho: T^*M \to E^*$ 是泊松映射，即对所有 $E^*$ 上的光滑函数 $h_1, h_2$，有 $\{h_1 \circ \,{}^{t}\!\rho, h_2 \circ \,{}^{t}\!\rho\} = \{h_1, h_2\} \circ \,{}^{t}\!\rho$。
• 对偶丛 $E^*$ 上的泊松二阶张量 $\Lambda$ 满足 $H_t^*\Lambda = e^{-t}\Lambda$，其中 $H_t$ 是位似向量场 $Z$ 的流，从而确认了其齐次性。