[论文解读] Differential Cohomology: Categories, Characteristic Classes, and Connections

Araminta Amabel, Arun Debray+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于流形上层的现代同伦论框架，用于微分上同调，统一了经典陈-外尔理论、微分特征类与示性类。该理论引入了第一陈类的微分提升，并将其应用于配置空间、共形浸入及量子场论，通过导出代数技术建立了几何、拓扑与物理之间的联系。

ABSTRACT

We give an overview of differential cohomology from a modern, homotopy-theoretic perspective in terms of sheaves on manifolds. Although modern techniques are used, we base our discussion in the classical precursors to this modern approach, such as Chern-Weil theory and differential characters, and include the necessary background to increase accessibility. Special treatment is given to differential characteristic classes, including a differential lift of the first Pontryagin class. Multiple applications, including to configuration spaces, invertible field theories, and conformal immersions, are also discussed. This book is based on talks given at MIT's Juvitop seminar jointly with UT Austin in the Fall of 2019.

研究动机与目标

• 开发一个基于流形上层与$∞$-范畴的全面、现代的微分上同调框架。
• 在单一凝聚结构中统一经典微分上同调、陈-外尔理论与微分特征类。
• 构造第一陈类的微分提升，并研究其几何与拓扑意义。
• 将该理论应用于可逆场论、配置空间与共形浸入等问题。
• 建立微分上同调与表示论之间的联系，特别是通过Segal–Sugawara构造与Virasoro代数。

提出的方法

• 使用空间层与$∞$-范畴来建模微分上同调，强调$ω$-局部化与$ℝ$-不变层。
• 应用Morel–Suslin–Voevodsky公式计算$ℝ$-局部化，并推导微分上同调六边形。
• 构造Deligne上积，将微分形式与整数上同调类合并为单一微分上同调类。
• 利用纤维积分与陈类定义带有联络的向量丛的微分特征类。
• 通过转移猜想与范畴的跨度关系，将微分上同调与场论及指标定理联系起来。
• 应用Segal–Sugawara构造，从环群表示推导Virasoro代数表示，给出中心扩张公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用流形上的层与$∞$-范畴系统地表述微分上同调？
• RQ2 第一陈类的微分提升是什么？它如何阻碍共形浸入？
• RQ3 微分特征类如何从陈-外尔理论中导出？其二阶不变量是什么？
• RQ4 Segal–Sugawara构造能否推广至半单李代数，并应用于微分上同调？
• RQ5 微分上同调在电荷量子化与可逆场论中扮演何种角色？

主要发现

• 本文构造了第一陈类的微分提升，该类作为微分特征类，阻碍了共形浸入。
• 由Segal–Sugawara构造导出的Virasoro代数的中心荷为$\frac{\ell\dim(\mathfrak{g})}{\ell + \lambda_B(\mathfrak{g})}$，其中$\ell$为环群表示的中心荷。
• 微分上同调六边形被实现为层的拉回，编码了de Rham上同调、整数上同调与微分形式之间的相互作用。
• Deligne上积被定义为层范畴中的纤维积，将曲率与特征类合并为单一微分上同调类。
• 该理论为陈-外尔形式提供了到整数上同调的典范提升，解决了 gauge 理论中的整数性障碍。
• 转移猜想以跨度的形式表述，将微分上同调与场论及指标理论联系起来。