[论文解读] Differential Equations Driven by Gaussian Signals II

Peter K. Friz, Nicolas Victoir|ArXiv.org|Nov 5, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 16

一句话总结

本文在粗糙路径拓扑下建立了高斯粗糙路径的Karhunen-Loève逼近的收敛性，证明了高斯粗糙路径的支撑等于其典范提升的Cameron-Martin空间的闭包。通过使用一种抽象的支撑准则，严格处理了三阶迭代积分，将高斯信号的随机积分理论扩展至样本路径规则性低于布朗运动的情形，克服了鞅方法的局限性。

ABSTRACT

Large classes of multi-dimensional Gaussian processes can be enhanced with stochastic Levy area(s). In a previous paper, we gave sufficient and essentially necessary conditions, only involving variational properties of the covariance. Following T. Lyons, the resulting lift to a "Gaussian rough path" gives a robust theory of (stochastic) differential equations driven by Gaussian signals with sample path regularity worse than Brownian motion. The purpose of this sequel paper is to establish convergence of Karhunen-Loeve approximations in rough path metrics. Particular care is necessary since martingale arguments are not enough to deal with third iterated integrals. An abstract support criterion for approximately continuous Wiener functionals then gives a description of the support of Gaussian rough paths as the closure of the (canonically lifted) Cameron-Martin space.

研究动机与目标

• 在粗糙路径拓扑下，建立d维高斯过程的自然提升的Karhunen-Loève逼近的收敛性。
• 将高斯信号的随机积分理论扩展至样本路径规则性低于布朗运动的情形。
• 通过一种抽象的支撑准则，对高斯粗糙路径的支撑进行描述，该准则适用于近似连续的Wiener泛函。
• 在粗糙路径提升中处理三阶迭代积分，其中仅靠鞅论证不足以充分处理。
• 证明提升后的高斯过程的支撑与提升后的Cameron-Martin空间的闭包一致。

提出的方法

• 利用粗糙路径理论及‘自然提升’的概念，定义与高斯过程相关的粗糙路径。
• 应用先前工作中定理1，建立逼近过程提升之间p-变差距离的L²估计。
• 引入一种新颖的抽象支撑准则，适用于近似连续的Wiener泛函，推广了Aida-Kusuoka-Stroock的方法。
• 为三阶迭代积分引入一个修正项，表明仅靠鞅论证不足以正确处理其行为。
• 利用高斯过程的Karhunen-Loève展开构造逼近，并证明其收敛于同一粗糙路径提升。
• 通过扰动论证和Cameron-Martin定理，证明提升过程的支撑即为典范提升的Cameron-Martin空间的闭包。

实验结果

研究问题

• RQ1 d维高斯过程的Karhunen-Loève逼近是否在粗糙路径拓扑下收敛于该过程的自然提升？
• RQ2 高斯粗糙路径的支撑是否可表征为提升后的Cameron-Martin空间的闭包？
• RQ3 当鞅方法失效时，如何在高斯粗糙路径的背景下严格定义并控制三阶迭代积分？
• RQ4 在缺乏完整Cameron-Martin平移不变性的情况下，需要哪些抽象泛函分析工具来描述高斯粗糙路径的支撑？
• RQ5 高斯过程的粗糙路径提升在多大程度上依赖于逼近方案的选择，如分段线性逼近或Karhunen-Loève逼近？

主要发现

• d维高斯过程的Karhunen-Loève逼近在p-变差粗糙路径拓扑下收敛于该过程的自然提升。
• 高斯粗糙路径的支撑等于在粗糙路径拓扑下提升后的Cameron-Martin空间的闭包。
• 粗糙路径提升中的三阶迭代积分无法仅通过鞅论证捕捉，需引入精细的修正项。
• 对近似连续Wiener泛函的抽象支撑准则，使得支撑描述无需假设提升具有完整的平移不变性。
• 该收敛结果在协方差具有有限ρ-变差（ρ ∈ [1, 2)）的条件下成立，该条件包含赫斯特参数H ≤ 1/2的分数布朗运动。
• 该理论适用于一般多维高斯过程，其样本路径规则性低于布朗运动，从而扩展了粗糙路径随机微积分的适用范围。