[论文解读] Differential forms and Hodge numbers for toric complete intersections

Helmut A. Hamm|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文提出了一种方法，通过利用代数环面中非退化完全交的欧拉-霍奇特征，计算拟光滑 торic完全交的霍奇数。它引入了‘无穷远处非退化’的概念，将计算范围从光滑toric簇扩展至更广的范畴，从而能够通过由toric数据导出的数值不变量，显式计算紧致拟光滑完全交的霍奇数。

ABSTRACT

We discuss conditions for complete intersections in a toric variety which allow to compute Hodge numbers if the complete intersection is a quasi-smooth complete variety. A preliminary step is the computation of the Euler characteristic of differential forms, we also look at symmetric or arbitrary forms instead of the usual alternating ones.

研究动机与目标

• 将霍奇数计算从射影完全交推广至toric完全交。
• 将霍奇数公式的适用范围扩展至toric簇中的拟光滑且紧致的完全交。
• 引入并利用‘无穷远处非退化’的概念，以在更广类别的代数簇中计算霍奇数。
• 提供一种系统方法，通过由toric数据导出的数值不变量与微分形式，计算霍奇数。

提出的方法

• 本文使用环面中非退化完全交的欧拉-霍奇特征，基于Danilov和Khovanskiïuf0b1的前期工作。
• 通过在R^{r+m}中使用一个扇图，引入一种改进的toric簇商构造方法，以简化环境空间的几何结构。
• 该方法通过部分约化为超曲面，避免增加环境toric簇的维数，与[D-K]中的拉格朗日乘子法不同。
• 为完全交定义了无穷远处非退化的概念，使得可对可分解为这类交的紧致拟光滑代数簇进行霍奇数计算。
• 该方法首先计算微分形式的欧拉特征，然后通过欧拉-霍奇特征分解推导霍奇数。
• 应用有理上同调的Lefschetz定理，推导低维数下的霍奇贝蒂数，将问题简化为计算微分形式的e^p(Y)（欧拉特征）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何计算非必然光滑或射影的toric簇中拟光滑完全交的霍奇数？
• RQ2 何种条件可确保通过toric扇图的数值不变量计算toric完全交的霍奇数？
• RQ3 ‘无穷远处非退化’的概念能否用于将霍奇数计算推广至超越光滑toric完全交的范畴？
• RQ4 toric完全交的霍奇数与其环境toric簇及子簇的霍奇数有何关系？
• RQ5 在何种情况下，霍奇数可仅由微分形式的欧拉特征确定？

主要发现

• 若代数簇可分解为环面中非退化完全交，则其紧致拟光滑toric完全交的霍奇数h^{pq}(Y)可被计算。
• 对于加权射影空间或射影空间积中的完全交，当p+q≠n时，霍奇数满足h^{pq}(Y) = δ_{pq}，问题简化为计算欧拉特征e^p(Y)。
• 在例3.3.2中，证明了代数簇Y同构于P^1，其霍奇数为h^{00}=h^{11}=1，其余均为零。
• 在例3.3.3中，h^{11}(Y) = h^{11}(Z) + 2，其中Z为有理曲线，且h^{11}(Z)=1，故h^{11}(Y)=3，其余h^{pq}(Y)在(p,q)≠(1,1)时与h^{pq}(Z)一致。
• 在例3.3.4中，Y被证明为Hirzebruch曲面Σ_1，其霍奇数与P^1×P^1相同，尽管二者并非同胚。
• 本文建立：toric完全交的霍奇数可通过环面中非退化完全交的欧拉-霍奇特征e^{pq}计算，且在不增加环境维数的前提下，扩展了[D-K]的结果。