[论文解读] Differential forms on orbifolds with corners

Jake P. Solomon, Sara B. Tukachinsky|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文通过étale紧致群胚建立了一个关于具有角的轨道丛上微分形式与电流的严格框架，证明了微分形式空间及其对偶的电流空间与群胚表示无关。本文引入了与弗雷chet拓扑相容的连续拉回与上推运算，将经典结果推广至具有角的轨道丛，并证明了函子性与电流的斯托克斯定理等关键性质。

ABSTRACT

Motivated by symplectic geometry, we give a detailed account of differential forms and currents on orbifolds with corners, the pull-back and push-forward operations, and their fundamental properties. We work within the formalism where the category of orbifolds with corners is obtained as a localization of the category of étale proper groupoids with corners. Constructions and proofs are formulated in terms of the structure maps of the groupoids, avoiding the use of orbifold charts. The Fréchet space of differential forms on an orbifold and the dual space of currents are shown to be independent of which étale proper groupoid is chosen to represent the orbifold.

研究动机与目标

• 开发具有角的轨道丛上微分形式与电流的一致理论，这对于辛几何中的应用至关重要。
• 证明弗雷chet空间上的微分形式及其对偶的电流空间不依赖于表示轨道丛的étale紧致群胚的选择。
• 定义并研究具有角的轨道丛上微分形式与电流的连续拉回与上推运算。
• 将经典积分与斯托克斯定理推广至具有角的轨道丛情形，尤其在相对定向与纤维化结构的背景下。
• 为开Gromov-Witten理论与Fukaya范畴构造提供基础工具，其中模空间为具有角的轨道丛。

提出的方法

• 将具有角的轨道丛形式化为étale紧致群胚与角的2-category的局部化，避免依赖轨道丛图册。
• 将轨道丛上的微分形式定义为群胚上的不变形式，并配备与微分分次代数结构相容的弗雷chet拓扑。
• 通过群胚的结构映射构造拉回与上推映射，确保相对于弗雷chet拓扑的连续性。
• 将电流定义为紧支集微分形式上的连续线性泛函，并通过对偶性定义上推。
• 证明沿2-同构的映射的拉回是相同的，且对于相对定向的恰当子mersions，上推是良定义的。
• 通过分析垂直边界与水平边界的包含关系，分析边界贡献，建立电流的斯托克斯定理版本。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖轨道丛图册的前提下，一致地定义具有角的轨道丛上的微分形式与电流？
• RQ2 微分形式与电流的空间在多大程度上独立于étale紧致群胚表示的选择？
• RQ3 在什么条件下，微分形式与电流的拉回与上推运算能保持良定义且连续？
• RQ4 标准积分性质（如斯托克斯定理）在具有角的轨道丛情形下如何推广？
• RQ5 相对定向与纤维化结构在定义具有角的轨道丛上上推运算时起什么作用？

主要发现

• 具有角的轨道丛上微分形式的弗雷chet空间不依赖于表示该轨道丛的étale紧致群胚的选择。
• 微分形式的拉回是良定义的，并且在轨道丛间映射的2-同构下保持不变。
• 对于相对定向的恰当子mersions，微分形式的上推是良定义的，并且保持弗雷chet拓扑。
• 电流的斯托克斯定理存在一个版本，其校正项来自垂直边界分量。
• 目标边界上消失的微分形式的拉回在源的边界上不必然消失，这支持使用标准形式而非相对形式。
• 电流的上推满足一个修正的斯托克斯型恒等式，涉及源的边界与映射下边界像的组合。