[论文解读] Differential forms on Wasserstein space and infinite-dimensional Hamiltonian systems

Wilfrid Gangbo, Hwa Kil Kim+1 more|ArXiv.org|Jul 7, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文建立了概率测度的Wasserstein空间上微分形式的微分几何，确立了Green定理的类比，并证明了第一de Rham上同调群的消失。当D=2d时，它在概率测度空间上构造了一个严格的辛结构，使得通过最优传输和微分同胚群实现的无穷维哈密顿系统的几何表述成为可能。

ABSTRACT

Let M denote the space of probability measures on R^D endowed with the Wasserstein metric. A differential calculus for a certain class of absolutely continuous curves in M was introduced by Ambrosio, Gigli and Savare'. In this paper we develop a calculus for the corresponding class of differential forms on M. In particular we prove an analogue of Green's theorem for 1-forms and show that the corresponding first cohomology group, in the sense of de Rham, vanishes. For D=2d we then define a symplectic distribution on M in terms of this calculus, thus obtaining a rigorous framework for the notion of Hamiltonian systems as introduced by Ambrosio and Gangbo. Throughout the paper we emphasize the geometric viewpoint and the role played by certain diffeomorphism groups of R^D.

研究动机与目标

• 在具有有限二阶矩的R^D上Borel概率测度的Wasserstein空间上，建立与现有绝对连续曲线微分几何对偶的微分形式严格微分几何。
• 证明Wasserstein空间上的每个闭1-形式都是恰当的，意味着第一de Rham上同调群消失。
• 当D=2d时，在Wasserstein空间上定义一个自然的辛分布，从而实现哈密顿PDE的几何表述。
• 将无穷维哈密顿系统的框架与最优传输理论及微分同胚群作用统一起来。
• 为先前文献中形式化或临时性的辛结构提供一个技术上稳健、几何上自然的替代方案。

提出的方法

• 利用最优传输的度量结构，在R^D上具有有限二阶矩的Borel概率测度空间M上发展微分形式的微分几何。
• 引入切向量与微分形式的概念，与[5]中定义的2-绝对连续曲线对偶，利用变分法与最优传输理论。
• 证明1-形式在M上的Green定理类比，表明闭1-形式沿任意闭合环路的积分为零。
• 确立第一de Rham上同调群H^1(M)消失，意味着每个闭1-形式都是恰当的。
• 当D=2d时，利用紧支集向量场的微分同胚群Diff_c(R^D)及其李代数作用，在M上构造辛分布。
• 证明与[33]中使用的泊松结构形式等价，表明该辛结构在几何上自然且与哈密顿流相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在Wasserstein空间M上建立与现有绝对连续曲线微分几何对偶的微分形式的一致微分几何？
• RQ2 M的第一de Rham上同调群是否消失，意味着每个闭1-形式都是恰当的？
• RQ3 当D=2d时，是否存在一个与最优传输框架及曲线与形式微分几何相容的自然辛结构？
• RQ4 M上的辛形式与文献中先前提出的泊松结构（如[33]）有何关系？
• RQ5 能否利用最优传输工具与微分同胚群作用，严格表述M上的无穷维哈密顿系统？

主要发现

• 在Wasserstein空间上，1-形式的Green定理类比成立，确保闭1-形式沿任意闭合环路的积分为零。
• 第一de Rham上同调群H^1(M)消失，证明M上每个闭1-形式都是恰当的。
• 当D=2d时，利用微分同胚群Diff_c(R^D)及其紧支集向量场的李代数作用，在M上构造了自然的辛分布。
• M上的辛结构与[33]中使用的泊松结构形式等价，确认其几何自然性。
• 该框架为M上的无穷维哈密顿系统提供了严格且几何一致的基础，与弱解和最优传输相容。
• 该构造避免了对测度或泛函光滑性的假设，为哈密顿PDE提供统一且稳健的方法。