[论文解读] Differential function spectra, the differential Becker-Gottlieb transfer, and applications to differential algebraic K-theory

Ulrich Bunke, David Gepner|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用 17

一句话总结

本文为数域中整数环构造了微分代数K-理论，建立了从几何模丛到该理论的周期映射。引入了微分函数谱与微分Becker-Gottlieb转移，证明了特征形式与正规化因子的关键结果，并提出了一个转移指数猜想，将拓扑转移与Lott的解析转移相联系，通过扭挠不变量与归一化比较提供了支持性证据。

ABSTRACT

We develop differential algebraic K-theory for rings of integers in number fields and we construct a cycle map from geometrized bundles of modules over such a ring to the differential algebraic K-theory. We also treat some of the foundational aspects of differential cohomology, including differential function spectra and the differential Becker-Gottlieb transfer. We then state a transfer index conjecture about the equality of the Becker-Gottlieb transfer and the analytic transfer defined by Lott. In support of this conjecture, we derive some non-trivial consequences which are provable by independent means.

研究动机与目标

• 为数域中的整数环发展微分代数K-理论，通过引入微分数据扩展经典代数K-理论。
• 从具有联络的几何局部常值层与向量丛构造到微分代数K-理论的周期映射。
• 建立微分上同调中的基础工具，包括微分函数谱与微分Becker-Gottlieb转移。
• 提出并提供证据支持一个转移指数猜想，该猜想将Becker-Gottlieb转移与Lott的解析转移等同起来。
• 在高阶扭挠不变量的背景下，比较并归一化不同惯例下的特征形式（Bismut-Lott、Chern、Igusa、Borel）。

提出的方法

• 将微分函数谱构造为广义上同调理论的同伦论精化，结合微分形式与联络结构。
• 通过光滑丛纤维上的积分，利用Thom同构与转移结构，引入微分Becker-Gottlieb转移。
• 应用Borel正规化映射将K-理论类与微分形式关联，尤其在平坦丛与曲率数据背景下。
• 利用Chern-Weil构造与传递形式，定义并比较不同归一化下的特征形式。
• 通过de Rham复形与流形上的积分，定义并计算微分上同调中的二级不变量。
• 通过在SL(n,C)的李代数中显式计算，推导出归一化形式（如ω2j−1）的显式公式，将曲率与特征类联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为数域中的整数环构造包含几何与微分数据的微分代数K-理论？
• RQ2 拓扑Becker-Gottlieb转移与Lott定义的解析转移之间的确切关系是什么？
• RQ3 不同归一化惯例下的特征形式（Bismut-Lott、Chern、Igusa、Borel）如何影响高阶扭挠不变量的计算？
• RQ4 转移指数猜想对拓扑与解析扭挠不变量相等性意味着什么？
• RQ5 从射影模到有限生成模，从几何丛到微分K-理论的周期映射能否被推广？

主要发现

• 本文构造了从具有联络的几何局部常值层到微分代数K-理论的周期映射，推广了经典Chern-Weil理论。
• 证明了归一化的Borel正规化映射在特定归一化下与Chern特征的微分形式代表一致，显式公式为：ˆω2j−1 = (−1)^{j-1}(j-1)!/(2j-1)!(2πi)^{j-1} φn(β(n)_{2j-1}) ∈ H^{2j-1}_{gr}(SL(n,C); R)。
• 通过利用Thom同构与光滑结构进行纤维积分，构造了微分Becker-Gottlieb转移，并证明了其在迭代丛上的函子性。
• 通过证明在关键情形（如S^1-丛与平坦丛）中，拓扑转移与解析转移在特征形式层面上一致，为转移指数猜想提供了支持。
• 推导出显式归一化因子：N_Borel(2j+1) = (−1)^j (2j+1)! / ((2πi)^j j!)，N_Chern(2j+1) = (−1)^j 2π(2j+1)! / (2^{2j+1} j!)，N_Igusa(2j+1) = (2j+1)! / ((2π)^j 2^{2j})，从而实现文献间比较。
• 显式计算了d^{KR}_0(*)为R，并证明了Aut(KR, A, c)在该群上的作用是平凡的；同时，行列式构造与度量缩放保持了周期映射的不变性。